Folge (an) definiert durch a1=1

Question

Hi,

Ich muss zeigen, dass die Folge a_n, definiert durch a₁ = 1 und  a_n+1 = √(1+a_n) konvergiert.

Bei mir kommt   a = 1 und a_n+1 = √2  raus.. Hab aber keine Ahnung, ob das richtig ist.

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.

Answer 1

Wir vermuten das es konvergiert gegen

x = √(1 + x)

x^2 = 1 + x

x^2 - x - 1 = 0

x = 1/2 + √5/2

Könntest du das jetzt nachweisen? Z.B. das deine Folge streng mononton steigend ist aber immer kleiner als der Grenzwert ?

Comments

Jap, das ist klar, also wenn a_n konvergiert dann kriege ich √(1+a). Dann versuche ich mit VI zu zeigen, dass ∀n ∈ ℕ : a_n<a_n+1<1, und dann kriege ich √2 raus.

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a_n<a_n+1<1

Warum soll an+1 < 1 sein? Das ist doch verkehrt.

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Vielleicht mache ich etwas falsch. Wenn du die richtige Weise weißt und Lust hast, dann schreib es hier einfach. Wenn ich Fragen dazu haben, melde ich mich.

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Streng monoton steigend ?

an+1 > an

√(1 + x) > x

1 + x > x^2

x^2 - x - 1 < 0

x < √5/2 + 1/2

obere Schranke

an+1 < √5/2 + 1/2

1 + x < √5/2 + 3/2

x < √5/2 + 1/2

Damit sollte das gezeigt sein.

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Stimmt. Also es folgt, dass die Folge konvergiert?

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Genau. Die Folge konvergiert gegen

1/2 + √5/2