Hi,
Ich muss zeigen, dass die Folge an, definiert durch a1 = 1 und an+1 = √(1+an) konvergiert.
Bei mir kommt a = 1 und an+1 = √2 raus.. Hab aber keine Ahnung, ob das richtig ist.
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Wir vermuten das es konvergiert gegen
x = √(1 + x)
x^2 = 1 + x
x^2 - x - 1 = 0
x = 1/2 + √5/2
Könntest du das jetzt nachweisen? Z.B. das deine Folge streng mononton steigend ist aber immer kleiner als der Grenzwert ?
Jap, das ist klar, also wenn an konvergiert dann kriege ich √(1+a). Dann versuche ich mit VI zu zeigen, dass ∀n ∈ ℕ : an<an+1<1, und dann kriege ich √2 raus.
an<an+1<1
Warum soll an+1 < 1 sein? Das ist doch verkehrt.
Vielleicht mache ich etwas falsch. Wenn du die richtige Weise weißt und Lust hast, dann schreib es hier einfach. Wenn ich Fragen dazu haben, melde ich mich.
Streng monoton steigend ?
an+1 > an
√(1 + x) > x
1 + x > x^2
x^2 - x - 1 < 0
x < √5/2 + 1/2
obere Schranke
an+1 < √5/2 + 1/2
1 + x < √5/2 + 3/2
Damit sollte das gezeigt sein.
Stimmt. Also es folgt, dass die Folge konvergiert?
Genau. Die Folge konvergiert gegen
1/2 + √5/2
Ein anderes Problem?
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