Vereinfachung einer Ableitung

Question

Ich habe große Probleme bei der vereinfachung von Ableitungen.

WIe komme ich von

$$\dfrac{\left(x^2-4\right)\left(3x^2-12x+12\right)-2x\left(x^3-6x^2+12x-8\right)}{\left(x^2-4\right)^2}$$

Zu diesem Ergebnis

$$\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+6\right)}{\left(x+2\right)^2}$$

Für mich ist das ganze so unübersichtlich, dass ich das niemals auf Anhieb machen könnte.

Aber woran erkennt man das man vereinfachen kann?

Normalerweise würde ich hier ausmultiplizieren was aber extrem umständlich und unübersichtlich wäre.

Ich weiss, dass man bei gemeinsamen Nullstellen auch kürzen kann (hat die Ausgangsfunktion) und dann ableiten. Das möchte ich allerdings nicht sondern es so machen, wie es der Ableitungsrechner im Netz auch macht. Ich will es einfach auf anhieb erkennen und loslegen wie die Feuerwehr :)

Answer 1

Die Funktion lautete

f(x) = (x^3 - 6·x^2 + 12·x - 8)/(x^2 - 4)

die darfst du erstmal vereinfachen mit stetiger Ergänzung

f(x) = (x^2 - 4·x + 4)/(x + 2)

Nun kannst du noch Polynomdivision machen

f(x) = x - 6 + 16/(x + 2)

das darfst du dann ableiten

f'(x) = 1 - 16/(x + 2)^2

bei bedarf noch auf einen Nenner bringen

f'(x) = (x - 2)·(x + 6)/(x + 2)^2

Comments

Also ich habe es jetzt doch mit der behebaren Lücke gemacht, da es so wie es aussieht damit am schnellsten geht.

DIe gekürzte Funktion abgeleitet erhalte ich

f(x) = (x² - 4·x -12)/(x + 2)^2

Von hier auf

f'(x) = (x - 2)·(x + 6)/(x + 2)²

^{zu kommen ist mein Problem.}

^{Verstehe ich das richtig, dass ich zur Ableitung einer unecht gebrochen rationalen Funktion auch immer das Ergebnis der Polynomdivision (Asymptotenberechnung) nehmen kann?}

Answer 2

Vereinfachung einer Ableitung

Comments

Dabei gilt der weise Spruch: Wer die Funktion vorher vereinfacht, hat nachher nicht so viel zu rechnen.

Answer 3

Faktorisieren.

        3x²-12x+12 = 3(x-2)²

        x³-6x²+12x-8 = (x-2)²

Dann kannst du im Zähler schon mal (x-2)² ausklammern.

Im Nenner ist (x²-4)² = (x²-2²)² = ((x-2)(x+2))² wegen dritter binomischer Formel.

Ausmultiplizieren ist umständlich, da du ja sowieso wieder in ein Produkt umwandeln willst um zu kürzen.

> auf anhieb erkennen und loslegen wie die Feuerwehr

Loslegen wie die Feuerwehr du musst. Man erkennt manchmal erst später, ob der gewählte Ansatz auch zum Erfolg führt. Aber wenn man nicht loslegt, dann erkennt man es nie.

Answer 4

Die Funktion ist sehr komplex.
Wenn du nichts falsch machen willst dann multipliziere aus
( auch wenns schwer fällt ) und führe dann eine Polynomdivison durch.
Diese ergibt

f ( x ) = 1 + ( -x^2 * 16 + 64 * x - 64 )/(x^2-4)^2

Der Bruch kann noch vereinfacht werden

16 * (  - x^2 + 4 x - 4 ) / [ ( x + 2 ) * ( x- 2 ) ]^2
-16 * ( x^2 + 4*x + 4 ) / [ ( x + 2 ) ^2 * ( x -2 )^2 ]
-16 * ( x - 2 )^2 /  [ ( x + 2 ) ^2 * ( x -2 )^2 ]  | kürzen
-16 / ( x +2 )^2

ansonsten
f ( x ) = 1 + ( -x^2 * 16 + 64 * x - 64 )/(x^2-4)^2 mit der  Quotientenregel ableiten