Gleichungen lösen. x^{-1} = √x und 1/3 x + 1/2 = √x

Question

Wie löse ich diese Gleichungen?

x^-1 = √x

und

1/3 x + 1/2 = √x

Answer 1

1/3x + 1/2 = √x  | * 3

x + 3/2 = 3* √ x  | quadrieren
x^2  + 6 / 2 * x + (3/2)^2 = 9 * x
x^2  + 3 * x - 9 * x = - 9 / 4
x^2 - 6 *  x  =
x^2 - 6 * x + 3^3 = - 9 / 4 + 9
( x - 3 )^2 = 27 / 4
x - 3 = ± √ ( 27 / 4 )

x = 0.4
und
x = 5.6

Das Ergebnis wurde überprüft.

Comments

x^-1 = √x

1 / x = √x  | quadrieren
1^2 / x^2 = x  | * x^2
1 = x * x^2 = x^3
x = 1

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Warum hast du bei der ersten Gleichung damit angefangen, mit 3 zu multiplizieren?

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damit ich das 1/3 los werde

1/3 * x * 3 = x

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x^2 - 6 * x =
Warum steht dahinter nichts?


x^2 - 6 * x + 3^3 = - 9 / 4 + 9
Woher kommen die 3^3 und die +9 ?

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x²  + 3 * x - 9 * x = - 9 / 4
x² - 6 * x =
Warum steht dahinter nichts?
Weil sich gegenüber der Vorzeile nichts getan hat. Besser

x² - 6 * x =  - 9 / 4

x² - 6 * x + 3^3 = - 9 / 4 + 9
Woher kommen die 3³ und die +9 ?
Es muß heißen
x² - 6 * x + 3^2 = - 9 / 4 + 9

Dies ist die quadratische Ergänzung.
ich hoffe du hast diese schon einmal im Unterricht gehabt.

Answer 2

x^-1 = √x

1/x = √x

1 = √x * x

1 = x^{3/2}

x = 1

Comments

1/3x + 1/2 = √x

z = √x

1/3*z^2 + 1/2 = z

z^2 + 3/2 = 3z

z^2 - 3z + 3/2 = 0

z = 3/2 ± √3/2

x = (3/2 ± √3/2)^2

x = 3 - 3·√3/2 ∨ x = 3·√3/2 + 3

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Aber warum ergibt sich aus (√x × x) x^3/2 ? Das scheint mir nicht plausibel. Und dann x=1?

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Potenzgesetze:

√x * x = x^{1/2} * x^1 = x^{1/2 + 1} = x^{3/2}

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Und √x ist gleich x^1/2, weil das x in der Wurzel aua 2 Komponenten besteht, oder wie?

Und die 2. Gleichungslösung verstehe ich überhaupt nicht? Woher kommt das z?

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Du kannst die Wurzel auch als Potenz schreiben

√(...) = (...)^{1/2}

Und ich kann substituieren z = √x

D.h. alle √x ersetze ich durch z.

Answer 3

Wie löse ich diese Gleichungen?

Comments

Ich verstehe nicht, wie aus x/3 3x entstehen kann, wenn man mit 9 multipliziert.

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x/3 *9 .

Die3 wird gekürzt

=3x

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Wie wird die denn gekürzt, dass da 3x entsteht? Ich stehe völlig auf dem Schlauch.

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Und (x/3 + 1/2)^2 ist doch eine binomische Formel. Warum kommt, wenn man diese auflöst, als 2. Komponente nochmal x/3 raus?

Answer 4

a)

x^-1=√x

1/x=x^{1/2} | *x

1=x^{3/2}  |^{2/3}

1=x

b) 1/3x+1/2=√x

1/9*x^2+1/3x+1/4=x

1/9*x^2-2/3x+1/4=0

x^2-6x+9/4=0

(x-3)^2+9/4-9=0

(x-3)^2=27/4

|x-3|=√27/4=3/2*√3

x=3-3/2*√3

x=3+3/2*√3