Sei K ein Körper , der C enthält

Question

Aufgabe :

Sei K ein Körper, der C enthält. Beweisen Sie ohne Anwendung des Hauptsatzes von Algebra: Wenn α, β ∈ K und α + β ∈ C und αβ ∈ C ist, dann gilt α, β ∈ C.

Ich bräuchte HIlfe..

Answer 1

Wenn K ⊃ ℂ,dann ist 0 ∈ K, d.h. a=0, b≠0 ⇒ a+b=b ∈ ℂ, weil a+b ∈ ℂ. Da b≠0 ist a*b=0=a ∈ ℂ, da a*b ∈ ℂ ist.

Ich glaube das könnte man so machen.

Answer 2

Die Aussage ist falsch.

Setze einfach b = -a.

Damit ist trivialerweise a+b = 0 in C.

Demnach reicht es schon eine echte Körpererweiterung von C zu haben und ein beliebiges Element a daraus zu nehmen, das nicht in C ist.

Ein Beispiel ist C(X) (die natürlich transzendent ist).