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(1/6)t^3 - (1/2)t^2 + t - (1/2) = (1/12)t^3


zuerst subtrahiere ich die (1/6)t^3, aber wie mache ich weiter?

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Rechne dann die ganze Gleichung mal 6. So bringst du die Brüche weg. 

( Es sei denn, dass du gerade ein spezielles Verfahren zur Lösung von kubischen Gleichungen lernen sollst. )

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1/6·t^3 - 1/2·t^2 + t - 1/2 = 1/12·t^3

2·t^3 - 6·t^2 + 12·t - 6 = t^3

t^3 - 6·t^2 + 12·t - 6 = 0

t = 2 - 2^{1/3} = 0.7400789501 ist die einzige Lösung.

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(1/6)t3 - (1/2)t2 + t - (1/2) = (1/12)t3

Es gibt nur eine reelle Lösung ( ≈ 0.74)

Bild Mathematik

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die Lösung von GroßerLoewe ist natürlich für diesen Sonderfall optimal, aber die Umformung ist nicht leicht zu sehen.

Reelle Lösungen der Gleichung kann man - auch wenn kein solcher Sonderfall vorliegt - auch mit einem numerischen Näherungsverfahren finden:

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei t-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

tneu =  talt - f(talt) / f ' (talt)

Infos dazu findest du hier:


t3 - 6·t2 + 12·t - 6 = 0   ,  f '(t) = 3t2 - 12t + 12


xf(x) f '(x)
113
0,666666667-0,370370375,333333333
0,736111111-0,0189552254,79224537
0,740066507-5,92593E-054,762297224
0,74007895-5,85261E-104,762203157
0,7400789504,762203156




Gruß Wolfgang

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