Wie berechne ich eine Gleichung mit verschiedenen Exponenten?

Question

(1/6)t^3 - (1/2)t^2 + t - (1/2) = (1/12)t^3

zuerst subtrahiere ich die (1/6)t^3, aber wie mache ich weiter?

Comments

Rechne dann die ganze Gleichung mal 6. So bringst du die Brüche weg.

( Es sei denn, dass du gerade ein spezielles Verfahren zur Lösung von kubischen Gleichungen lernen sollst. )

Answer 1

1/6·t^3 - 1/2·t^2 + t - 1/2 = 1/12·t^3

2·t^3 - 6·t^2 + 12·t - 6 = t^3

t^3 - 6·t^2 + 12·t - 6 = 0

t = 2 - 2^{1/3} = 0.7400789501 ist die einzige Lösung.

Answer 2

(1/6)t³ - (1/2)t² + t - (1/2) = (1/12)t³

^{Es gibt nur eine reelle Lösung ( ≈ 0.74)}

Answer 3

die Lösung von GroßerLoewe ist natürlich für diesen Sonderfall optimal, aber die Umformung ist nicht leicht zu sehen.

Reelle Lösungen der Gleichung kann man - auch wenn kein solcher Sonderfall vorliegt - auch mit einem numerischen Näherungsverfahren finden:

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei t-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

t_neu =  t_alt - f(t_alt) / f ' (t_alt)

Infos dazu findest du hier:

t³ - 6·t² + 12·t - 6 = 0   ,  f '(t) = 3t² - 12t + 12

x	f(x)	f '(x)
1	1	3
0,666666667	-0,37037037	5,333333333
0,736111111	-0,018955225	4,79224537
0,740066507	-5,92593E-05	4,762297224
0,74007895	-5,85261E-10	4,762203157
0,74007895	0	4,762203156

Gruß Wolfgang