Summenwert von Reihen mit Fakultät im Nenner

Question

Konvergiert folgende Reihe? Berechnen Sie den Summenwert.

Die Konvergenz konnte ich mit Hilfe des Quotientenkriteriums nachweisen. Komme aber einfach nicht drauf wie ich den Summenwert berechnen kann.

Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)

Answer 1

Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)

= 1/2  +   Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * n/(n+1)      )

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * ( 1 + n  -   1  )/(n+1)      )

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * ( ( 1 + n)/(n+1)    -   1  /(n+1) )     )

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !       * ( 1    -   1  /(n+1) )     )

= 1/2  +Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !         -   1  /(n+1)  *    (   1 / ( n-1) !     )

= 1/2  +Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !         -    n/((n+1)!)

= 1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !         -  Σ (1 bis ∞)    n/((n+1)!)

Der Subtrahend ist wieder die Ausgangsreihe, also

2* Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/2  + Σ (2 bis ∞)    (   1 / ( n-1) !    

2* Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/2  + Σ (1 bis ∞)    (   1 / n !    )

Und die Reihe rechts ist die e-Reihe

2* Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/2  +e

Σ (1 bis ∞) n/((n+1)!)   =    1/4  +e/2

Comments

Genial! Bist du ohne Nachschlagen darauf gekommen?

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Genial!

Wenn man von den ganzen Fehlern absieht.

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Ist was verrechnet ?   Gib doch mal nen Tipp!

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1. Fehler :  Faktor n im Zähler der 2. Zeile (dieser Fehler killt den Ansatz)

2. Fehler :  Summationsindex in der 8. Zeile

3. Fehler :  Behauptung über e-Reihe

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Also doch nicht genial. Schade - sah so gut aus.

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Danke, war ich wohl etwas flott!

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Also doch nicht genial. Schade - sah so gut aus.

Für dich sieht wahrscheinlich gut aus  :

e^x/x = ∑ (n=0 bis ∞) x^n-1 / n!  =  ∑ (n=2 bis ∞) x^n-1 / n! + x^-1/0! + x^0/1!  = 

   =   ∑ (n=1 bis ∞) xⁿ / (n+1)! + 1/x + 1   |   d/dx

e^x·(x-1) / x^2   =   ∑ (n=1 bis ∞) n·x^n-1 / (n+1)! - 1/x^2   |  x = 1 setzen

0 = ∑ (n=1 bis ∞) n / (n+1)! - 1

Genial ist hingegen aber zu sehen, dass für die Partialsummen

∑ (n=1 bis m) n / (n+1)!   =   1  - 1/(m+1)!

gilt.

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Aha, geht doch !