Zweimal stetig diffbare Funktion mit Eigenschaft f(lx) = l^af(x) partiell integrieren

Question

Hiho,

Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich hier überhaupt anfangen soll.

Ich weiß nur, dass die Ableitungen bei zweimal stetig diffbaren Funktionen vertauscht werden können, daher könnte man die Summe verkleinern.

Und irgendwie sieht mir die ganze Summe da etwas nach Taylor aus.

Wäre cool wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.

Answer 1

f(λx)=λ^a*f(x)  leite beide Seiten nach λ ab (linke Seite mit Kettenregel und rechte Seite mit Potenzregel)

∑_k=1ⁿ df/dx_k (λx)*x_k=a*λ^{a-1}*f(x) 

Jetzt nochmal beide Seiten nach λ ableiten:

linke Seite

∑_i=1ⁿ x_i*d/dx_i∑_k=1ⁿ df/dx_k (λx)*x_k=∑_i,k=1ⁿ (d_i*d_kf)(λx)x_ix_k

 Rechte Seite: a*(a-1)*λ^{a-2}*f(x)

jetzt setze λ=1 und die Gleichung steht da

Comments

Danke,
aber wie kommt man darauf:
(f(λx))' = f'(λx)*x = ∑_k=1ⁿ df/dx_k (λx)*x_k ?

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Oh, das ist einfach die Mehrdimensionale Kettenregel.

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Jo, das ist die Kettenregel angewandt.

Bei der Aufgabe handelt es sich um einen Spezialfall homogener Funktionen.Falls es dich interessiert, kannst du hier dazu nachlesen:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion