Zeigen, dass Funktion nicht stetig partiell differenzierbar ist: g(x,y)= (x^{2}+y^{2})sin(1/(x^{2}+y^{2})) für …

Question

ich soll zeigen dass folgende Funktion nicht stetig partiell differenzierbar ist:

g(x,y)= (x²+y²)sin(1/(x²+y²)) für (x,y)≠(0,0) und g(x,y)=0 sonst.

Die partielle Ableitung bezüglich x ist hier gegeben durch:
g_x(x,y)=2xsin(1/(x²+y²))-(2x/(x²+y²))*cos(1/(x²+y²))

Nun meine Frage, kann ich um zu zeigen dass die Funktion nicht stetig partiell differenzierbar ist auch x=r*cosφ und
y= r*sinφ wählen und das dann in die partielle Ableitung einsetzen und schauen ob der Grenzwert für (x,y)-->(0,0) bzw. r-->0 existiert und gleich 0 ist?

Answer 1

Ja. Ich erinnere mich daran, dass es unser Prof mal so gemacht hat. Du kannst aber auch y = m*x substituieren. Egal wie es sollte dann der Grenzwert 0 rauskommen.