Dazu musst du ja schauen, ob ∫ (über ganz IR) f(t) * f(x-t) dt das gleiche gibt, wie g(x).
Das kannst du für alle möglichen Fälle testen:
1. Fall x< - 1
Es ist ja f(x-t) fast immer = 0 nur
f(x-t) = 1 falls | x-t | > 0,5 also x-0,5 < t < x+0,5
wegen x<1 also -1,5 < t < - 0,5
in diesem Bereich ist aber f(t) = 0 wegen t < -0,5
also ist einer der beiden Faktoren des Integranden immer = 0,
und damit der ganze Integrand und also auch das Integral = 0.
Also ist für x < -1 jedenfalls ∫ (über ganz IR) f(t) * f(x-t) dt= 0
und auch g(x) in diesem Fall = 0. Damit ist die Behauptung für x<-1
gezeigt.
2. Fall x zwischen -1 und 0 ( jeweils einschließlich), also -1 ≤ x ≤ 0.
Auch hier muss man wieder schauen, wann der Integrand nicht 0 ist,
denn fast überall ist er ja = 0. Also schauen, wann er = 1 ist:
f(x-t) = 1 falls | x-t | > 0,5 also x-0,5 < t < x+0,5
und f(t) = 1 falls -0,5 <= t <= 0,5
also sind beide Faktoren = 1 von -0,5 bis x + 0,5
Also ist in diesem Fall
∫ (über ganz IR) f(t) * f(x-t) dt = ∫ (von -0.5 bis x+0,5 ) 1 dt
= [ t ] in den Grenzen von -0,5 bis x+0,5
= x + 0,5 - ( -0,5 ) = 1 + x
Und wegen ( im Fall 2 ) x ≤ 0 ist | x | = - x
also ist wirklich 1 + x = 1 - ( - x ) = 1 - | x | = g ( x) .
So kannst du das für die anderen Bereiche auch zeigen.
