Question

Berechnen Sie cos³(x)+sin³(x), wenn cos(x)+sin(x)=1/2

MfG

Comments

Hmm, für cos^3(x) + sin^3(x) = (sin(x) + cos(x)) * (sin^2(x) + cos^2(x) - sin(x)cos(x))

(mittels Polynomdivision).

Lässt sich also vereinfachen zu:

cos^3(x) + sin^3(x) = 1/2 * (1 - sin(x)cos(x))

Für den letzten Summanden habe ich aber keinen Vorschlag :P.

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(s+c)^1  =  a

(s+c)^2  =  s^2 + 2sc + c^2   ⇒   a^2  =  1 + 2sc   ⇒   sc  =  (a^2 - 1)/2

(s+c)^3  =  s^3 + 3s^{2}c + 3sc^2 + c^3   ⇒   a^3  =  s^3 + c^3 + 3sc·(s+c)

⇒   s^3 + c^3  =  a^3 - 3/2·(a^2 - 1)·a  =  (3a - a^3) / 2

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Awesome cheers. So siehts sauber aus! War etwas spät und ich hatte nicht weiter rumgespielt.

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Ich eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Ich soll cos^2(x)+sin^3(x) berechnen, mit dem Wissen, dass sin(x)+sin(x)=1/2

Nach dem Anwenden der binomischen Formel habe ich:

(sin(x)+cos(x))(cos^2*sin(x)cos(x)*sin^2(x))

da sin(x)+cos(x)=1/2 und sin^2(x)+sin^2(x)=1

erhalte ich:

(1/2)(1-cos(x)sin(x))

Ich weiß leider nicht, wie ich hier weiterkommen soll :(

Answer 1

cos(x)+sin(x) = 1/2

±√(1 - sin²(x) ) = 1/2 - sin(x)

setze   z = sin(x)

±√(1 - z²) = 1/2 - z

1-z² = 1/4 - z + z²

2z² - z - 3/4 = 0

z² - 1/2 z - 3/8 = 0

z_1,2 = 1/4 ± √(1/16 + 6/16) = 1/4 ± 1/4 * √7   (Probe stimmt!)

→  sin(x) = 1/4 ± 1/4 * √7

→  cos(x) = 1/2 - (1/4 ± 1/4 * √7 ) = 1/4  -(+)  1/4 * √7

Also:       sin(x) = 1/4 + 1/4 * √7  und  cos(x) = 1/4 - 1/4 * √7

    oder:   sin(x) = 1/4 -  1/4 * √7  und  cos(x) = 1/4 + 1/4 * √7

→  cos³(x) + sin³(x)  = (1/4 - 1/4 * √7)³ +  (1/4 + 1/4 * √7)³ =  11/16

Gruß Wolfgang