Vielfachheit und Anzahl der Nullstellen

Question

Eine Fnktion f(x)=x^n hat ja maximal n viele  Nullstellen. Wenn wir jetz z.B. n=3 haben muss dann auch die gesamte vielfachheit aller Nullstellen zusammengezählt 3sein oder kann es sein das es nur 2 einfache Nullstellen existieren ?

Answer 1

> Eine Fnktion f(x)=xⁿ hat ja maximal n viele  Nullstellen.

Ja. Genauer gesagt, sie hat für n>0 genau eine Nullstelle, nämlich x=0.

> die gesamte vielfachheit aller Nullstellen zusammengezählt

Ist n. x=0 ist eine n-fache Nullstelle.

> kann es sein das es nur 2 einfache Nullstellen existieren

Nein.

Ganzrationale Funktionen vom Grad n haben höchstens n Nullstellen (inklusive Vielfachheit). Arbeitet man mit komplexen Zahlen, dann haben sie genau n Nullstellen (inklusive Vielfachheit).

Answer 2

Eine Funktion f(x)=x^n hat ja maximal n viele  Nullstellen. Wenn wir jetzt z. B. n=3 haben muss, dann auch die gesamte Vielfachheit aller Nullstellen zusammengezählt 3 sein oder kann es sein, dass nur 2 einfache Nullstellen existieren?

Ich nehme mal an, die eigentliche Frage lautet:

Kann eine ganzrationale Funktion dritten Grades zwei einfache Nullstellen haben?

Nein, das kann sie nicht, da sie in diesem Falle zwei Vorzeichenwechsel aufweisen würde, was nicht zu ihrem Globalverhalten passt, der nur eine ungerade Anzahl an Vorzeichenwechsel erlaubt.