Lösung einer Differentialgleichung mit Anfangswertproblem

Question

Lösung folgender Differentialgleichung gesucht:

y`= ty+t

mit folgendem Anfangswertproblem:  y( wurzel2) = e-1

Answer 1

y'=ty+t=t*(y+1)

dy/dt=t*(y+1)

dy/(y+1)=t*dt

ln |y+1|=1/2*t^2+C

|y+1|=c*e^{1/2*t^2}

y+1=c₁*e^{1/2*t^2}

y=c₁*e^{1/2*t^2}-1 c₁ ∈ℝ

y(√2)=c₁*e^{1}-1=c₁-1=e-1 --> c₁=e

y=e*e^{1/2*t^2}-1 =e^{1/2*t^2+1}-1

Answer 2

Lösung erfolgt durch Trennung der Variablen , zum Schluß ist noch die AWB in die Lösung ein zusetzen.

die AWB eingeetzt:

e-1= C_1 *e-1

C_1=1

Lösung: y= e^{(t^2/2)} -1