die erste Ableitung von \( x^4 - 4x + \lambda \) lautet \( 4x^3 - 4 \).
Die Nullstellen (der ersten Ableitung) lauten \( x_{1, 2, 3} = \sqrt[3]{1} \).
Eingesetzt in das Ausgangspolynom gilt
\( x_{1, 2, 3} - 4x_{1, 2, 3} + \lambda \stackrel{!}{=} 0 \)
Die Lösungen dieser Forderung lauten
\( \lambda_{1, 2, 3} = 3 x_{1, 2, 3} \).
Für diese Werte von \( \lambda \) hat das Ausgangspolynom eine gemeinsame Nullstelle mit seiner Ableitung und daher eine mehrfache Nullstelle.
Mister