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Ich brächte hier Hilfe. Ich weiß, dass ein Polynom eine mehrfache Nullstelle besitzt, wenn die Diskriminante = 0 ist. Ist das der Ansatz für die Aufgabe? Und wenn ja, wie gehe ich dann am besten vor?Bild Mathematik

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die erste Ableitung von \( x^4 - 4x + \lambda \) lautet \( 4x^3 - 4 \).

Die Nullstellen (der ersten Ableitung) lauten \( x_{1, 2, 3} = \sqrt[3]{1} \).

Eingesetzt in das Ausgangspolynom gilt

\( x_{1, 2, 3} - 4x_{1, 2, 3} + \lambda \stackrel{!}{=} 0 \)

Die Lösungen dieser Forderung lauten

\( \lambda_{1, 2, 3} = 3 x_{1, 2, 3} \).

Für diese Werte von \( \lambda \) hat das Ausgangspolynom eine gemeinsame Nullstelle mit seiner Ableitung und daher eine mehrfache Nullstelle.

Mister

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$$ x^4-4x+\lambda=0 $$---Bedingung doppelte Nullstelle:
$$ (x-n)^2=0$$
$$ (x^2-2nx+n^2)=0$$
Ableitung
$$ 2x-2n=0$$
$$ x=n$$
---
$$ 4x^3-4=0 $$
$$ 4x^3=4 $$
$$ x^3=1 $$
$$n_1=1$$
---
$$ 1^4-4\cdot 1+\lambda=0 $$
$$ \lambda=3 $$
---
$$ x^4-4x+3=0 $$
$$ n_1=1 $$
---Polynomdivision durch den Linearfaktor der ersten Nullstelle:
$$ (x^4-4x+3)/(x-1)=x^3 $$
$$ (x^3-4x+3)/(x-1)=x^2 $$
$$ (x^2-4x+3)/(x-1)=x $$
$$ (x-4x+3)/(x-1)=-3 $$
$$ (-3+3)/(x-1)=0 $$
$$x^3+x^2+x-3=0$$
$$ n_2=1 $$
---Polynomdivision durch den Linearfaktor der zweiten Nullstelle:
$$(x^3+x^2+x-3)/(x-1)=x^2$$
$$(2x^2+x-3)/(x-1)=2x$$
$$(2x+x-3)/(x-1)=3$$
$$x^2+2x+3=0$$
---Lösung der quadratischen Gleichung durch binom. Ergänzung:
$$x^2+2x +1+3=1$$
$$(x +1)^2=-2$$
$$x +1=\pm\sqrt{-2}$$
$$n_3 =-1+i\sqrt{2}$$
$$n_4 =-1-i\sqrt{2}$$

 $$ x^4-4x+\lambda=0 $$
Einsetzen der komplexen Nullstellen:
 $$ (-1+i\sqrt{2})^4-4(-1+i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ -7+4 i \sqrt2+4-4i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ \lambda=3 $$
---
 $$ (-1-i\sqrt{2})^4-4(-1-i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ -7-4 i \sqrt2+4+4i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ \lambda=3 $$

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