Gegeben ist ein Polynom, gesucht ist eine Zahl für die dieses Polynom eine mehrfache Nullstelle hat

Question

Ich brächte hier Hilfe. Ich weiß, dass ein Polynom eine mehrfache Nullstelle besitzt, wenn die Diskriminante = 0 ist. Ist das der Ansatz für die Aufgabe? Und wenn ja, wie gehe ich dann am besten vor?

Answer 1

die erste Ableitung von \( x^4 - 4x + \lambda \) lautet \( 4x^3 - 4 \).

Die Nullstellen (der ersten Ableitung) lauten \( x_{1, 2, 3} = \sqrt[3]{1} \).

Eingesetzt in das Ausgangspolynom gilt

\( x_{1, 2, 3} - 4x_{1, 2, 3} + \lambda \stackrel{!}{=} 0 \)

Die Lösungen dieser Forderung lauten

\( \lambda_{1, 2, 3} = 3 x_{1, 2, 3} \).

Für diese Werte von \( \lambda \) hat das Ausgangspolynom eine gemeinsame Nullstelle mit seiner Ableitung und daher eine mehrfache Nullstelle.

Mister

Answer 2

$$ x^4-4x+\lambda=0 $$---Bedingung doppelte Nullstelle:
$$ (x-n)^2=0$$
$$ (x^2-2nx+n^2)=0$$
Ableitung
$$ 2x-2n=0$$
$$ x=n$$
---
$$ 4x^3-4=0 $$
$$ 4x^3=4 $$
$$ x^3=1 $$
$$n_1=1$$
---
$$ 1^4-4\cdot 1+\lambda=0 $$
$$ \lambda=3 $$
---
$$ x^4-4x+3=0 $$
$$ n_1=1 $$
---Polynomdivision durch den Linearfaktor der ersten Nullstelle:
$$ (x^4-4x+3)/(x-1)=x^3 $$
$$ (x^3-4x+3)/(x-1)=x^2 $$
$$ (x^2-4x+3)/(x-1)=x $$
$$ (x-4x+3)/(x-1)=-3 $$
$$ (-3+3)/(x-1)=0 $$
$$x^3+x^2+x-3=0$$
$$ n_2=1 $$
---Polynomdivision durch den Linearfaktor der zweiten Nullstelle:
$$(x^3+x^2+x-3)/(x-1)=x^2$$
$$(2x^2+x-3)/(x-1)=2x$$
$$(2x+x-3)/(x-1)=3$$
$$x^2+2x+3=0$$
---Lösung der quadratischen Gleichung durch binom. Ergänzung:
$$x^2+2x +1+3=1$$
$$(x +1)^2=-2$$
$$x +1=\pm\sqrt{-2}$$
$$n_3 =-1+i\sqrt{2}$$
$$n_4 =-1-i\sqrt{2}$$

 $$ x^4-4x+\lambda=0 $$
Einsetzen der komplexen Nullstellen:
 $$ (-1+i\sqrt{2})^4-4(-1+i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ -7+4 i \sqrt2+4-4i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ \lambda=3 $$
---
 $$ (-1-i\sqrt{2})^4-4(-1-i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ -7-4 i \sqrt2+4+4i\sqrt{2})+\lambda=0 $$
 $$ \lambda=3 $$