Differentialgleichung y' + y -2 = 0. Funktion -C * e^-x+2

Question

Ich verstehe nicht wieso da e hoch irgendwas raus kommt kann mir jemand mal sagen wieso das so ist und den komplleten weg zeigen

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Hallo Anisa,

wenn dir die Fragen so gestellt werden, kann es sein, dass du diese DGL noch nicht auflösen kannst. Du musst hier "nur" die Antworten prüfen. Vgl. Antwort von Wolfgang.

Answer 1

Hallo Anisa,

wenn du die vorgegebene Auswahlantwort  d) ableitest und  y' und y in die DGL einsetzt, merkst du, dass die Gleichung stimmt. Da sich die Lösung d) nicht in Form einer der anderen Vorschläge darstellen lässt, kann keiner von diesen die allgemeine Lösung sein.

   y = c · e^-x + 2  →  y' = - c · e^-x 

Einsetzen in y' + y - 2 = 0 :

c· e^-x + 2 - c·e^-x - 2  =  0      ist offensichtlich richtig

Spezielle Lösung mit Nebenbedingung y(0) = 0:

y(0) = c · e⁰ + 2 = 0    → c + 2 = 0   →  c = -2

Also:   y = - 2 e^-x + 2

Gruß Wolfgang

Answer 2

y'+y=+2

homogene Lösung:

y'+y=0

Ansatz:y=C*e^{ax}

--> a+1=0 --> a=-1

y_hom=C*e^{-x}

partikuläre Lösung:

Ansatz: y=A

einsetzen liefert

0+A=2

Also y_p=2

--> y=y_hom+y_p=C*e^{-x}+2

in der 2ten Frage wurde dann C=-2 gewählt um die Bedingung  y(0)=0  zu erfüllen.

Answer 3

Lösung erfolgt durch Trennung der Variablen:

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Kannst du mir noch sagen warum das k auf einmal vorne ist?

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Ich habe eine neue Konstante definiert

k=1/C_1

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Kannst du mir mal genau jeden schritt erklären ich blick da gar nicht durch vorallem verstehe ich nicht wie aus -e^{-x+c} das hier rauskommt -C * e ^-x+2  woher kommt das c wieso ist das vorne