Wie löse ich diese Differentialgleichung? y´´-3*y´+2*y=e^(x)

Question

Aufgabe:inhomogen lineare Dgl .Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y´´-3*y´+2*y=e^(x)

Lösung mit der Wronski Determinate partukuläre (spezielle) Lösung yp=-1*e^(x)*(1+x)

yo=C1*e^(2*x)+C2*e^(1*x)   Lösung der honogenen linearen Dgl

in meinen Mathe-Formelbuch steht die Formel für einen speziellen Ansatz

yp=Rk(x)*e^(n*x) und

yp=x^(q)*Rk(x)*e^(n*x)  mit n ist q-fache Wurzel der charakteristischen Gln.

Wie kommt man auf yp=-1*e^(x)*(1+x)

Answer 1

Hallo,

Wie kommt man auf yp=-1*e^(x)*(1+x) ?

yh= C₁e^x +C₂ e^(2x)

1.) Bilden der Wronski Determinante:

W(x)  =

| y₁ y₂     |

| y₁'   y₂'   |       = e^(3x)

f(x)=e^x

2.) C₁(x)=  - ∫  \( \frac{f(x) y2(x)}{W(x)} \)   dx= -x

3.) C₂(x)=  ∫  \( \frac{f(x) y1(x)}{W(x)} \) dx= - e^(-x)

4.) yp= C₁(x) y₁(x)+C₂(x) y₂(x)= - e^x(x+1)

PS: Es ist hier aber nicht nötig , mit der Wronski Determinante zu rechnen,

mit der Ansatzmethode geht es auch (yp=A x e^x)

Comments

Die Lösung yp=-1*e^(x)*(1+x) habe ich mit der Wronski Determinante ermittelt

Bei der Wronski Determinate muß man aber integrieren,was bei Aufgaben sehr schwer sein kann,bis hin zu unmöglich

Es gibt eine speziellen Ansatz für die Störfunktion s(x)=e^(x)

Wie komme ich nun ohne Wronski Determinate auf yp=.... ?

1) yp=Rk(x)*e^(n*x)  hier ist n=1

2) yp=x^(q)*Rk(x)*e^(n*x)  mit n ist q-fache Wurzel der charakteristischen Gln.

Wie komme ich nun mit 1) und 2) auf die Lösung yp=... ohne die Wronski Determinate ?

Habe in Internet gefunden Fallunterscheidung für Störfunktion s(x)=c*e^(k*x)

1) yp=A*e^(k*x)  falls r1,r2≠k

2) yp=A*x*e^(k*x) falls r1≠k und r2=k oder r1=k und r2≠k

3) yp=A*x²*e^(k*x) falls r1=r2=k

Lösung der homogenen linearen Dgl 2.Ordnung

y1(x)=e^(r1*x) und y2(x)=e^(r2*x)

a*y´´+b*y´+c*y=0

Lösung r1,r2=-b/(2*a)+/-Wurzel(b²/(4*a²)-c/a)

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Hallo,

yp= A xe^x (Resonanz)

yp'=A(e^x x +e^x)

yp'' =A(e^x * x+2 e^x)

->Setze yp,yp' und yp'' in die DGL ein und vereinfache:

-A e^x =e^x

A=-1

-->yp= - x e^x

PS: Fallunterscheidung brauchst Du hier nicht.