Differentialgleichung y'+xy=e^(-x^2/2)sin(x)

Question

Aufgabe:

Bestimme eine Lösung von: y^' + xy = e^{-\( \frac{x^2}{2} \)} sin(x)

:)

Comments

Weißt Du, um welchen Typ von Differentialgleichung es sich dabei handelt?

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Bitte schilder doch einmal genau dein Problem. Wie weit kamst du selber?

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Ist Satire erlaubt? Wenn ja, dann: Die "Alternate Forms" finde ich sehr erhellend.

Wenn nicht, bitte überlesen.

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Ja darf man, vielen dank :)

Answer 1

Hallo,

Lösung mittels Variation der Konstanten:

1) homogene DGL:

y' + xy = 0

dy/dx= -xy

dy/y= -x dx

ln|y|= -x^2/2 +C |e hoch

|y|= e^(-x^2/2 +C) =e^(-x^2/2) *e^C

y=e^(-x^2/2) *± e^C ; e^C=C

y_h=>C *e^(-x^2/2) 

2) C=C(x):

yp=>C(x) *e^(-x^2/2)

yp'=>C'(x) *e^(-x^2/2) - C(x) *x *e^(-x^2/2)

3)yp und yp' in die DGL einsetzen:

C'(x) *e^(-x^2/2) - C(x) *x *e^(-x^2/2) +xC(x) *e^(-x^2/2) = e^(-x^2/2)*sin(x)

C(x) muß sich kürzen !

C'(x) *e^(-x^2/2) = e^(-x^2/2)*sin(x)   | : e^(-x^2/2)

C'(x)= sin(x)

C(x)=-cos(x)

4) yp=>C(x) *e^(-x^2/2) =-cos(x) *e^(-x^2/2)

5)y=y_h+y_p

y=y_h+y_p = C *e^(-x^2/2) -cos(x) *e^(-x^2/2)