Wahrscheinlichkeitsdichte, 75%-Quantil, Verteilung

Question

Aufgabe:

Angenommen \( X \) sei eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} c(1+x) & x \in[0,2] \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

wobei \( c>0 \) eine Zahl ist.

(i) Bestimmen Sie \( c \) so, dass \( f \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. \( \rightarrow \) Zahl in Feld eintragen

(ii) Bestimmen Sie den Wert der Wahrscheinlichkeit \( P(X \in[-5 ; 1]) \).
→ Zahl in Feld eintragen

(iii) Bestimmen Sie das \( 75 \% \)-Quantil dieser Verteilung.
→ Zahl in Feld eintragen

$$\begin{aligned} i)\quad1&=P(X\leq2)\\1&=c(1+0)+c(1+2)\\1&=4c\\c&=0,25\end{aligned}$$

Bei der ii) bin ich mir nicht ganz sicher ob die Funktion auch für X= -2 gilt. Da wäre die Lösung dann entweder 0,25 oder aber 0, wenn -2 auch zählt. Man summiert ja einfach die Wahrscheinlichkeit für die angegeben X auf, oder?

Bei der iii) weiß ich das man die Verteilungsfunktion erstellen muss, diese erhält man durch integrieren.

Hier bin ich mir allerdings nicht sicher ob wir ein unbestimmtes oder bestimmtes Integral haben.

F(X) = 0,125x²+0,25x (+C)

Um das Quantil zu erhalten muss man F(X) = 0,75 setzen und die Gleichung lösen, oder?

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

Liebe Grüße :)

Comments

Deine Rechnung zu (i) verstehe ich nicht – ich bitte um Erklärung! Das Ergebnis habe ich allerdings auch...

Answer 1

Hi, zu

(i) \( c = \frac{1}{4} \) ist richtig

(ii) Da die Verteilung nur ungleich Null im Bereich \( [0,2] \) ist, gilt \( P\{ X \in [-5, 1] \} = \int_0^1 \frac{1}{4}(1+x) dx = \frac{3}{8} \)

(iii) Deine Idee ist richtig, es muss gelöst werden \(  F(x) = \frac{x(x+2)}{8} = 0.75 \) Die Lösung ist \( x = \sqrt{7} - 1 \)

Answer 2

i) Es ist P(X≤2) = _-0∫²f(x) dx, was im Allgemeinen ≠ f(2) - f(0) ist. Bestimme c so, dass _-∞∫^∞ f(x) dx = 1 ist.

ii) Es ist P(X∈[-5, 1]) = _-5∫¹f(x) dx.

iii) Löse die Gleichung 0,75 = _-∞∫^tf(x) dx