Question

Bestimmen Sie drei positive Zahlen a, b, c, deren Summe gleich 60 und deren Produkt maximal ist.

g(a,b,c)= a+b+c=60 -> g(a,b,c)=a+b+c-60 , a*b*c = f(a,b,c) -> max, a,b,c >0 ~ Benutze hier Lagrange

L(a,b,c,Λ)=a*b*c +Λ( a+b+c-60)

L_a = b*c + Λ = 0

L_b =a*c + Λ = 0

L_c = a*b + Λ = 0

L_Λ= a+b+c-60 = 0

die ersten drei nach Λ umstellen -> Λ=-b*c=-a*c=-a*b  -> es folgt a=b=c, in die letze gleichung

3a-60=0 -> a=b=c= 20, wie kann ich aber jetzt zeigen, dass dieses Eergebnis maximal ist? Normal würde ich dass jetzt in die Funktion einsetzen und dann für Werte z.B. kleiner a und größer a schauen und dann schauen ob es sich um ein Maxima handelt oder nicht, ich weiß aber nicht wie ich hier vorgehen soll

Answer 1

Hi,

Du hast schon die notwendige Bedingung für Extrema untersucht. Das einzige was man noch machen könnte, wäre Randbedingungen zu untersuchen, die hier aber nicht in die Suppe spucken ;).

Grüße

Comments

Aber was wenn ich beweisen müsste, dass das hier ein Maxima ist, wie müsste ich dann vorgehen? Kann ja nichts anderes sein, aber wir müssen das in der Regel auch beweisen, dass es sich hier tatsächlich um ein Maxima handelt

---

Wie gesagt, Du hast bereits die notwendige Bedinung für Extrema erfüllt. Das ist zumeist in Ordnung. Einzig die Betrachtung der Grenzen mag noch eine größere Rolle spielen und müssen/sollten untersucht werden.

Wenn Du ganz genau sein willst (was meines Wissens meist nicht verlangt wird), kannst Du auch mittels der "geränderten Hesse-Matrix" arbeiten bzw. einen Graphen zu Hilfe nehmen (liegen entsprechende Hilfsmittel vor). Schau da am besten im Skript nach :).

---

Uns haben sie gesagt, dass man bei der Lagrange Funktion die Hesse Matrix nicht benutzen kann und dann gesagt, dass wir in der unmittelbaren Umgebung der Funktion durch Einsetzten nachschauen sollten, von der geänderten Hesse Matrix kam nix dran :X

ich denke mal ich belasse es einfach dabei >.>

---

Es handelt sich dabei auch nicht um die "normale" Hesse-Matrix. Siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix

Die Wahrscheinlichkeit steht gut, dass ihr diese nicht behandelt habt.

Wie gesagt, ich würde es ebenfalls dabei belassen. Grenzen untersuchen und eventuell Umgebung :).

Gute Nacht