Ermittlung der allgemeinen Lösung einer DGL 2. Ordnung. y''+5y'+6y=12x^2-(2/3).

Question

wie oben beschrieben, geht es um die Ermittlung der allgemeinen Lösung einer DGL 2. Ordnung.

Speziell um die Aufgabe: y''+5y'+6y=12x^2-(2/3).

Mir fällt zu dieser Aufgabenstellung absolut kein Lösungsansatz ein.

Wie das ganze bei der Ermittlung der allgemeinen Lösung einer DGL 1. Ordnung funktioniert weiß ich genau, baut dies vielleicht in irgendeiner Art auf meinem Problem auf?

:)

Answer 1

Hi,

bestimme die homogene Lösung zuerst.

y''+5y'+6y = 0

Charakteristisches Polynom:

a^2+5a+6 = 0     |pq-Formel

a_(1) = -2

a_(2) = -3

y_(h) = c_(1)*e^{-2x} + c_(2)*e^{-3x}

Für den partikulären Teil den rechten Seite Ansatz verwenden:

y = ax^2+bx+c

y' = 2ax + b

y'' = 2a

Einsetzen in Grunddgl:

(2a) + 5(2ax+b) + 6(ax^2+bx+c) = 12x^2-2/3

Ordnen und Koeffizientenvergleichen:

2a + 5b + 6c = -2/3

(10a + 6b)x = 0x

6ax^2 = 12x^2

--> a = 2, b = -10/3, c = 2

y_(p) = 2x^2 - 10/3*x + 2

--> y = y_(h) + y_(p) = c_(1)*e^{-2x} + c_(2)*e^{-3x} + 2x^2 - 10/3*x + 2

Grüße

Comments

Danke erstmal für deine schnelle und gute Antwort, zwei kleine Fragen hätte ich allerdings noch an dich.

Ich habe dafür einfach deinen Text kopiert:

Einsetzen in Grunddgl:

(2a) + 5(2ax+b) + 6(ax²+bx+c) = 12x²-2/3

Ordnen und Koeffizientenvergleichen:

2a + 5b + 6c = -2/3

"(10a + 6b)x = 0x"   ---->  Woher kommen hier plötzlich die Zahlen 10a,6b und 0x?

6ax² = 12x²

--> "a = 2, b = -10/3, c = 2"  ---> Wie sind diese 3 Ergebnisse entstanden?

y_p = 2x² - 10/3*x + 2

---

Zu ersterem: einfach die linke Seite von ein paar Zeilen drüber ausmultiplizieren und sortieren. Rechts haben wir kein x stehen, deswegen ist das nic anderes als 0x. Wir wollen ja die Koeffizienten alle vergleichen; ).

Zu letzterem. Aus letzterer der drei Gleichungen ergibt sich ja a = 2. Aus der Gleichung darüber dann b und alles in die erste Gleichung eingesetzt und man erhält c ;).

Ok?

---

(2a) + 5(2ax+b) + 6(ax²+bx+c) = 12x²-2/3

2a + 10ax + 5b + 6ax² + 6bx + 6c = 12x²-2/3

6ax² + (10a+6b) · x + 2a + 5b +6c = 12x² + 0·x - 2/3

6a = 12 → a = 2

20 + 6b = 0 → b = -10/3

4 - 50/3 + 6c = -2/3  →  c = 2

---

Jetzt habe auch ich es verstanden

Answer 2

Du bildest zuerst die charakteristische Gleichung:

λ^2 +5 λ +6=0

λ_1= -3

λ_2= -2

->y_h=

Danach bildest Du den Ansatz für die part. Lösung:

y_p=A +Bx+Cx^2

y_p=

y_p '=

y_p '' =

die Ableitungen sind dann in die Aufgabe einzusetzen und ein Koeffizientenvergleich durch zuführen.

y=y_h+y_p

y=C_1 e^{-3x} +C_2 e^{-2x} + 2 x^2 -(10 x)/3 +2