Isomorphieklassen eines endlichen F2-Moduls

Question

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:

''Bestimmen Sie die Anzahl der (Isomorphieklassenvon) F2[T]-Moduln M mit dimF2M=3''

Ich weiß nicht genau, wie ich bei der Lösung dieser Aufgabenstellung vorgehen soll. Eine Lösung/Lösungsansatz wären super.

Vielen Dank und freundliche Grüße

Comments

Sind alle \( \mathbb{F}_2[T] \)-Moduln der Dimension \( 3 \) zueinander isomorph?

In diesem Fall gibt es nur eine Isomorphieklasse von \( \mathbb{F}_2[T] \)-Moduln der Dimension \( 3 \).

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Ja, man müsste eine Zerlegung finden mit :

f₁ Ι f₂ Ι...Ι f_n in  F2[T] : M≅(F2[T] mod f₁)×.....×(F2[T] mod fn)

Wie kommen sie darauf ?

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Ist \( \mathbb{F}_2[T] \) ein Körper?

In diesem Fall handelt es sich bei \( \mathbb{F}_2[T] \)-Moduln im Vektorräume.

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Korrekt. Aber wie geht man nun vor?

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Vektorräume gleicher endlicher Dimension sind isomorph, oder?

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Nur  wenn die zugrunde liegenden Körper isomorph sind.

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Hm, also das kann man wohl annehmen, dass \( \mathbb{F}_2[T] \) isomorph zu \( \mathbb{F}_2[T] \) ist.

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Anmerkung: Es gibt insgesamt 14 Isomorphieklassen!

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Also es gibt \( 14 \) Isomorphieklassen von \( \mathbb{F}_2[T] \)-Moduln \( M \) mit \( \dim_{\mathbb{F}_2} M = 3 \)?

Kannst du wenigstens zwei verschiedene angeben?

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Ja.

Die Idee ist, dass man alle irreduziblen Polynome im F2-Körper kleiner gleich drei dazu verwendet alle Polynome vom Grad 3 zu zerlegen um dann über den Struktursatz isomorphe Darstellungen zu bekommen.

Beispiel:

Polynom: T³+T mit Zerlegung T*(T+1)*(T+1) :

F2 mod T³+T ≅ F2 mod (T+1) x F2 mod (T*(T+1))

 (Beachte hier die Bedingung der Teilbarkeit nach dem Struktursatz)

Wenn man dieses Prinzip auf alle 8 Polynome vom Grad 3 im F2 Körper anwendet, bekommt man insgesamt 14 verschiedene Darstellungen, die isomorph zueinander sind.

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Wenn die 14 Darstellungen isomorph zueinander sind, hast du damit nur eine einzige Isomorphieklasse angegeben.

Answer 1

Ja.

Die Idee ist, dass man alle irreduziblen Polynome im F2-Körper kleiner gleich drei dazu verwendet alle Polynome vom Grad 3 zu zerlegen um dann über den Struktursatz isomorphe Darstellungen zu bekommen.

Beispiel:

Polynom: T³+T mit Zerlegung T*(T+1)*(T+1) :

F2 mod T³+T ≅ F2 mod (T+1) x F2 mod (T*(T+1))

 (Beachte hier die Bedingung der Teilbarkeit nach dem Struktursatz)

Wenn man dieses Prinzip auf alle 8 Polynome vom Grad 3 im F2 Körper anwendet, bekommt man insgesamt 14 verschiedene Darstellungen, die isomorph zueinander sind.

Comments

Aber wieviele Isomorphieklassen der \( \mathbb{F}_2[T] \)-Moduln \( M \) mit \( \dim_{\mathbb{F}_2} M = 3 \) gibt es nun?

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Sicher, dass diese Antwort so richtig ist?

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Tut mir leid für die sehr verspätete Antwort, aber ja ich bin mir sicher. Habe gerade nochmal die grundlegende Theorie zusammengefasst. Unten im Korollar der Seite findest du Möglichkeiten der Zerlegung einer abelschen Gruppe. Wendet man bzgl. der abelschen Gruppe eine Primfaktorzerlegung an, erhält man diese 14 Zerlegungsvarianten. In der abstrakten Gruppentheorie steht dabei die Struktur der Gruppe im Vordergrund, wobei man die Struktur eine Gruppe mit der Isomorphieklasse identifiziert.