Hi,
Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Wenn x die Anzahl der Beitetiere, y die Anzahl der Raubtiere und $$\dot x \text{ bzw. } \dot y$$ die Zeitableitung bezeichnen, dann lautet die Räuber-Beute-Gleichung
$$\dot x = ax - bxy,$$ $$\dot y = -cy+dxy,$$
wobei a,b,c,d > 0 Modellparameter sind.
Zeigen Sie: Für jede Wahl von a,b,c,d gibt es eine Anfangsbedingung x(0)=x0, y(0)=y0, x0,y0>0, so dass die Lösung der Räuber-Beute-Gleichung konstant ist.
Nun bin ich wie folgt vorgegangen:
Ich habe zunächst die Gleichungen umgeschrieben zu
$$\dot x = ax - bxy = x(a-by),$$
$$\dot y = -cy+dxy = y(dx-c)$$
Die konstanten Lösungen ergeben sich ja an den Gleichgewichtspunkten der Gleichung:
1.) (x(t),y(t))=(0,0)
2.) $$x(a-by)=0$$
$$y(dx-c)=0$$
$$\Leftrightarrow \widetilde{x}= \frac{c}{d}, \widetilde{y}=\frac{a}{b}$$.
Hieraus ist ja ganz leicht zu sehen, dass die konstanten Lösungen unabhängig von a,b,c,d sind.
Was muss ich nun noch zeigen mit den Anfangsbedingungen?
Oder stimmt schon alles und ich bin nur verwirrt? :D
