Die Räuber-Beute-Gleichung

Question

Wenn \( x \) die Anzahl der Beutetiere, \( y \) die Anzahl der Raubtiere und \( \dot x \) bzw. \( \dot y \) die Zeitableitung bezeichnen, dann lautet sie $$ \dot x = ax - bxy \\ \dot y = -cy + dxy $$ wobei \( a,b,c,d > 0 \) Modellparameter sind. Zeigen Sie: Für jede Wahl \( a,b,c,d \) gibt es eine Anfangsbedingung \( x(0) = x_0 \), \( y(0) = y_0 \) mit \( x_0 \), \( y_0 >0 \), so dass die Lösung der Räuber-Beute-Gleichung konstant ist.

Comments

Ich habe Deine Frage mal in leserliche Form gebracht. Das war ja mehr Arbeit als die Aufgabe zu lösen. Ein bisschen mehr Sorgfalt bei der Fragestellung würde helfen. Wer noch nicht mal eine leserliche Aufgabenstellung formulieren kann, bei dem wundert es mich nicht, dass es auch mit der Lösung hapert!

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Vielen Dank, bin neu im Forum und damit leider noch nicht so ganz vertraut. Als reines Tex Dokument wäre es kein Problem...

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Auch dieser Link kann helfen:

http://www.math.harvard.edu/library/sternberg/slides/11809LV.pdf

Answer 1

Hi,
für eine konstante Lösung muss gelten
$$ (1) \quad  x(a-by) = 0 $$ und
$$ (2) \quad -y(c-dx) = 0 $$
Aus (1) folgt \( x = 0 \) oder \( y = \frac{a}{b} \) und aus (2) folgt \( y = 0 \) oder \( x = \frac{c}{d} \)
Das sind die konstanten Lösungen und damit auch die Anfangsbedingungen.

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Lotka-Volterra-Gleichungen