Aufgabe:
Für die Räuber Beute Gleichung:
x'= ax - bxy
y'= -cy + dxy
sei nun die Anfangsbedingung y(0) = y₀ > 0 und x(0) = x₀ > 0 gegeben. In der Vorlesung wird gezeigt, dass die eindeutig bestimmte Lösung φ(t) = (x(t),y(t)) periodisch ist. Wir bezeichnen die Periode mit T. Zeigen sie, dass die Mittelwerte
\( \frac{1}{T} \)\( \int\limits_{0}^{T} \) x(t)dt und \( \frac{1}{T} \) \( \int\limits_{0}^{T} \) y(t)dt
nicht von x₀ und y₀ abhängen
Hinweis: Bestimmen sie \( \int\limits_{0}^{T} \)\( \frac{x'(t)}{x(t)} \)dt und \( \int\limits_{0}^{T} \) \( \frac{y'(t)}{y(t)} \)dt auf zwei verschiedene Weisen.
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Problem/Ansatz:
Um ehrlich zu sein weiß ich nicht mal wo ich hier anfangen soll. Muss ich erstmal irgendeine Art allgemeine Lösung der DGL finden und wenn ja, wie mach ich das?
