Spektralnorm einer linearen Abbildung

Question

Hi, ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Wir hatten mal eine Aufgabe, bei der wir eine lineare Abbildung angegeben hatten, die v1 auf w1 abbildet, usw., wie hier also, und sollten dann eine adjungierte Abbildung in der Standardbasis einer Matrix angeben. Muss ich das hier auch machen, und dann lediglich die Spektralnorm dieser Matrix ausrechnen? Ein anderer Ansatz fällt mir nicht ein.

Answer 1

Hi,
die Matrix \( A = \begin{pmatrix}  1+i & -i \\ 1-i & -1+2i \end{pmatrix} \) ist die gesuchte lineare Abbildung. Die Eigenwerte von \( A^H A \) sind \(  \)\begin{pmatrix} 5+\sqrt{17} \\ 5-\sqrt{17} \end{pmatrix}. Also ist die Spektralnorm \( 5+\sqrt{17} \)

Comments

Wie kommt man auf die Matrix A? Was muss man für Rechenschritte machen? Wir hatten leider bisher nie so eine Aufgabe

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Ist es der selbe Rechen weg wie hier? https://www.mathelounge.de/344023/geben-sie-die-adjungierte-abbildung-der-standardbasis-von

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Ich die Matrix \( A = \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) gesetzt und das Gleichungssystem
$$ Av_i = u_i $$ für \( i=1,2 \) gelöst.

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alles klar, da habe ich wohl zu kompliziert gedacht. Was hast du als Matrizenprodukt von A^HA heraus? Ich komme nämlich auf andere Eigenwerte, nämlich 8 und -4

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Hi,
\( A^H A = \begin{pmatrix}  3+i & -3-2i \\ -3+i & 6-i \end{pmatrix}  \)
Bei den Eigenwerten ist mir ein Fehler unterlaufen. Die Eigenwerte sind 8 und 1.

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In Ordnung, danke! Ich weiß nicht wo mein Fehler liegt, A^H ist doch gleich ((1-i),(1+i)) ((i),(-1-2i)) oder? Wenn man dann A^HA rechnet, steht in der ersten Zeile erste Spalte bei mir direkt 0, denn (1+i)(1-i) ist ja 0.

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Hi,

$$  A^H = \begin{pmatrix}  1-i & i \\ 1+i & -1-2i \end{pmatrix} $$

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ist A^H  nicht die komplex-konjugierte-transponierte Matrix von A?? wenn nicht, weiß ich wo mein Fehler liegt.

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Also nochmal, alles auf Null zurück.

$$  A^H = \begin{pmatrix}  1-i & 1+i \\ i & -1-2i \end{pmatrix} $$

$$  A^H A =  \begin{pmatrix}  4 & -4 \\ -4 & 6 \end{pmatrix} $$

und die Eigenwerte sind so, wie ich sie in meiner ersten Antwort geschrieben habe.

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okay, diese Matrix A^H  habe ich auch heraus. Aber der erste Eintrag kann nicht 4 sein, da man für die erste Zeile der ersten Spalte rechnet: (1-i)(1+i)+(1+i)(1-i), und das ist 0

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Und das ist \( (1-i^2)+(1-(i^2)) = 1-(-1) + 1 - (-1)  = 4  \)

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es gilt doch (a+ib)(c+id)= (ac-bd)+i(ad+cb)
und das ist fur (1-i)(1+i)= (1-(-i²))+i(i-i) = 1-1 = 0

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okay, tut mir leid, es hat sich erledigt.