Komplexe dritte Wurzeln von 2i

Question

Könnte mir einer erklären wie ich vorzugehen habe bei folgender aufgabe:

Berechnen Sie die dritten komplexen Wurzeln von 2i (Real- und Imaginärteil)

Answer 1

Hi,

schreibe es in Polarform um:

z^{n} = a

z = ³√(2) * exp(i*(π/2)/n + k*2πi/n),

dabei ist bei uns n = 3 und damit k = 0, 1 und 2

z_(1) = ³√(2) * exp(i*(π/2)/1 + 0*2πi/n) = ³√(2) * exp(i*(π/2)/3 + 0*2πi/3) = ³√(2) * (√3/2 + 0,5I)

z_(2) = ³√(2) * exp(i*(π/2)/2 + 1*2πi/n) = ³√(2) * exp(i*(π/2)/3 + 1*2πi/3) = ³√(2) * (-√3/2 + 0,5i)

z_(3) = ³√(2) * exp(i*(π/2)/3 + 2*2πi/n) = ³√(2) * exp(i*(π/2)/3 + 2*2πi/3) = ³√(2) * (-i)


Grüße

Answer 2

Du kannst es auch etwas anschaulicher machen:

Betrag von 2i ist 2, also Betrag der 3. Wurzeln auch immer  ³√(2).

Winkel mit der positiven Re-achse ist 90°.

alos bei der 3. Wurzel der 3. Teil, also 30°.

Oder der 3. Teil von 90°+360° das wären 150°

oder der 3. Teil von 90°+2*360° also 270°.

Dann hast du alle drei

³√(2) * ( cos(30°) + i * sin(30°) = ³√(2) * ( 0,5√3  + i * o,5)

und dann

³√(2) * ( cos(150°) + i * sin(150°) = ³√(2) * ( ...    )

etc.