Banachscher Fixpunktsatz - Eindeutigkeit der Lösung eines Gleichungssystems

Question

Ich kenne den Fixpunktsatz v Banach aber weiß leider nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Ich brauche ja eine Metrik und eine Abbildung um die Kontraktion zu zeigen.

Meine Idee war, beide Gleichungen nach y aufzulösen, diese Gleichungen dann als Abbildungen zu behandeln und für beide separat die Kontraktion zu zeigen. Wäre das richtig?

Außerdem weiß ich nicht mit welcher Metrik ich rechnen soll um die Kontraktion zu zeigen. Müsste nicht eine Metrik angegeben sein?

Ich wäre euch für einen Tipp sehr dankbar  :)

mfG

Answer 1

Hi,
(1) Das Definitionsgebiet ist konvex, weil die Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten aus dem Definitionsgebiet vollständig im Definitionsgebiet liegt.

(2)
Um festzustellen ob die Abbildung \( F \) den Definitionsbereich in sich abbildet, kannst Du die Extremwerte berechnen, indem Du die partiellen Ableitungen bildest und diese Null setzt und dann nach \( x \) und \( y \) auflöst. Man stellt fest, das die Extremstellen der ersten Funktion bei \( (0,0)  \) und \( ( 0,1) \) liegen. Die Extremstellen der zweiten Funltion kann man ebenso festellen. Einsetzten der gefundenen Werte in die Funktion zeigt, dass \( F \) den Definitionsbereich in sich abbildet.

(3)
Ob eine Lipschitzbedingung erfüllt ist mit einer Lipschitzkonstante < 1 zeigt ma, in dem man von der Jakobimatrix die Maximomsnorm berechnet. Es ergibt sich dafür der Wert 0.75. Somit ist die Konstante kleiner 1.

Jetzt muss nur noch die Iteration berechnet werden.

Aus der Abschätzung
$$ \| x^{(k)} - x^\star \| \le \frac{q^k}{1-q} \| x^{(1)} - x^{(0)} \| $$ folgt mit \( q = \frac{3}{4} \) dass man ca. 49 Iterationen barucht um die angegebene Genauigkeit von \( 10^{-6} \) zu erreichen. Das sollte man mit den tatsächlich benötigten Iterationen mal vergleichen um die Güte der Abschätzung zu kontrollieren.

Außerdem wäre interessant, wie im Vergleich zu diesem Verfahren das Newton Verfahren sich verhält.