Potenzen im Nenner mit Wurzeln -x / (z^2+x^2)^{3/2}

Question

Kann jemand erklären, wie man darauf kommt, dass der 1. Term gleich dem 2. ist?

$$ \frac{\left(-\frac{1}{\left(\sqrt{z^{2}+x^{2}}\right)^{2}}\right) \cdot x}{\sqrt{z^{2}+x^{2}}}=-\frac{x}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$

Bei dem Term verstehe ich das auch nicht:

$$ \frac{3 \sqrt{x}}{\left(2 x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}}=\frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}} $$

Comments

Hi, wer sagt denn, dass die Terme im ersten Beispiel gleichwertig sind?

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Der Ableitungsrechner im Internet! Wenn ich Werte für x und z einsetze kommt auch das Selbe bei heraus!

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Hi, wer sagt denn, dass die Terme im ersten Beispiel gleichwertig sind?

So, ich korrigiere mich, die Terme sind gleichwertig, denn:

 

Das vergessene Minus musst Du Dir bitte wieder dazu denken!

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Hm, aber wenn ich den Doppelbruch jetzt mit dem Kehrwert multipliziere, dann würde sich doch die Klammer mit der Wurzel im Zähler wegkürzen und wie kommt es dann zu dem hoch 3???

Oder stehe ich jetzt völlig auf dem Schlauch?

 $$ \frac{-\frac{x}{\left(\sqrt{z^{2}+x^{2}}\right)^{2}}}{\sqrt{z^{2}+x^{2}}}=-\frac{x}{\left(\sqrt{z^{2}+x^{2}}\right)^{2}} * \frac{\sqrt{z^{2}+x^{2}}}{1}=-\frac{x}{\left(\sqrt{z^{2}+x^{2}}\right)} $$

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Der innere Bruch ist der Zähler (und nicht der Nenner) des äußeren Bruchs!
Wenn der Term anders gemeint war, musst Du anders klammern!

Answer 1

Hi,

 

ersteres:

Multipliziere das x rein. Dann den Kehrbruch anwenden. D.h. Du hast dann:

-x/((√(z^2+x^2))^2*√(z^2+x^2))

Nun Potenzgesetze: a^m*a^n=a^{m+n}

-x/((z^2+x^2)^{1}*(z^2+x^2)^{1/2}=-x/(z^2+x^2)^{3/2}

 

Bei letzterem funktioniert das genauso:

Nur auf das x konzentriert: x^{1/2}/(x^{3/2})^2=x^{1/2}/x^{3}=x^{1/2-3}=x^{-5/2}=1/x^{5/2}

 

Grüße

Answer 2

In der linken Seite, mutipliziere das x in den Bruch rein. Dann kannst du den Nenner so schreiben, statt a^2 , a * a.

Dann kürze. Dann rechne beide Seiten mal (-1). Dann rechne mal die Wurzel auf der linken Seite. Denn dann hast du:

x = x / ( Wurzel( (z^2 + x^2) )^2
x = x/(z^2 + x^2)
usw.
Der Term auf den hinaus willst ist also nicht wirklich vereinfacht...

Comments

Okay, das ist ein Ergebnis von einer Ableitung, wenn man die dann noch mal ableiten muss, dann ist der 2. Term schon einfacher abzuleiten, als der erste. Also wäre es schon wichtig wie man dahin kommt!

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Okay, das ist ein Ergebnis von einer Ableitung

Was wurde denn abgeleitet?

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f(x) = 1/(wurzel(x²+y²+z²))

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Wäre es nicht besser, so abzuleiten, dass gar nicht erst solche hyperkomplizierten Terme wie oben entstehen?

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Ach man musste ableiten...

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Wie könnte ich das denn dann machen?

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Zum Beispiel mit der Kettenregel und der Ableitung von 1/wurzel(t) so:

f(x) = 1/(wurzel(x^2+y^2+z^2))

d(f(x)/dz) = -z/(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}