welche eigenschaften polynom damit z5 ein körper ist

Question

ich hänge im Moment an einer Aufgabe fest und zwar lautet die Frage:

Welche Eigenschaft muss ein Polynom f aus Z5[x] haben, damit Z5[X] mod f ein Körper ist?

Meine Vermutung wäre, der Polynom f muss in Z5 eine Inverse besitzen? Aber klingt für mich ehrlich gesagt nicht wirklich richtig.

für die Hilfe!

Answer 1

ich würde meinen, dass das Polynom \( f \) kein Produkt zweier Polynome sein darf.

Denn wäre das Polynom \( f \) Produkt zweier Polynome, so wären diese beiden Polynome jeweils Nullteiler in \( \mathbb{Z}_5 \mod f \), und \( \mathbb{Z}_5 \mod f \) könnte damit kein Körper sein.

Dies müsste theoretisch als Bedingung ausreichen.

Wenn \( f \) in \( \mathbb{Z}_5 \) ein Inverses besitzt, dann ist \( f \in \mathbb{Z}_5 \), sprich \( f \) ist ein konstantes Polynom.

Mister