zu einem Bruch machen gibt
((x2 +1)(x-b) +(x6+1)(x-a) ) / (x-a)*(x+b)
und dann Polynomdivision gibt
x5 ax4 +a2x3 +... + (a6+1)/(x-a) + (b2+1)/(x-b)
Und für x gegen a von rechts hat der rote Summand den Grenzwert plus ∞
und alle anderen endliche Grenzwerte, also ist das Ganze in der Nähe von a
positiv.
Und für x gegen b von links hat der grüne Summand den Grenzwert minus ∞
( wegen x < b )
und alle anderen endliche Grenzwerte, also ist das Ganze in der Nähe von b
negativ.
Da zwischen a und b alles stetig ist und keine Definitionslücken vorliegen, gibt es dort
nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle.