Konvergenz von Summe innerhalb des Konvergenzradius. ∑ (x^{2n+1} / (2n+1) )

Question

Hier habe ich noch eine weiter Summe, deren Wert innerhalb des KV bestimmt werden soll:

∑ (x^{2n+1} / (2n+1) )

Konvergenzradius der  benutzten Potenzreihen ist 1. Dementsprechend dürfen Integrale in die Summe gezogen werden innerhalb des KV. Alle Umformungen gelten mindestens für |x| < 1 :

∫∑ x^{2n} =∑ ∫ x^{2n} = ∑ (x^{2n+1} / (2n+1) )

Das heißt also, wenn ich für die Reihe ∑ x^{2n} einen Ausdruck finde, so kann ich diesen intergrieren und erhalte einen Ausdruck für meine Reihe.

Das Problem ist nun, dass ich diese Reihe irgendwie auf ∑ x^n zurückführen muss, denn hier kennen wir den Wert der Summe bereits. Indexverschiebung hilft in diesem Fall nicht weiter.

Die Elemente der Reihe sind auf jeden Fall alle in ∑ x^n enthalten. Man könnte dies als Summe von ∑ x^{2n} und ∑ x^{2n+1} schreiben, was mich hier aber auch nicht weiter bringt.

Jemand eine Idee?

Comments

∑ x²ⁿ 

Was passiert, wenn du einfach mal x^2 = u substituierst? 

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Irgendwie hab ich mich auf Substitution für in der Art m= 2n versteift,was den Index so verändert,dass es nicht weiterhilft.

So machts Sinn:

x^2 = u

∑ x²ⁿ = ∑ uⁿ = 1/(1-u)

Rücksubstituieren:

1/(1-x^2)

Jetzt aufleitung bilden.

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Ich denke, das stimmt dann so. Gib das Resultat dann aber zur Kontrolle noch bei WolframAlpha ein.

Die Integrationskonstante musst du ja auch noch schlau wählen.

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WolframAlpha gibt mir für die Reihe selbst leider keinen Ausdruck an.

Ja, die Integration ist auch nicht so schön so erledigen.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F(1-x%5E2)

wird wirklich nicht so schön.

Geht es vielleicht besser, wenn du wieder eine Ableitung anstrebst und erst mal

∑ x²⁽ⁿ⁺¹⁾ ausrechnest?  

Da fehlt ja dann einfach der erste Summand, den du von 1/(1-x²) subtrahieren könntest. 

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Ich wüsste jetzt nicht, wie ich die Kombination aus Potenz und dem Nenner in der Potenzreihe mit Hilfe der Ableitung erhalten könnte.

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Stimmt. Dein Weg war besser.

Die Reihenentwicklung des artanh(x) passt genau zur gesuchten Reihe.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+of+tanh%5E(-1)(x)

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Oh okay, das ist ziemlich untypisch für den Prof. Eigentlich wird sonst fast gar nicht mit sinh cosh und tanh gearbeitet.

Also ich finde den Schritt bis zur Aufleitung noch soweit in Ordnung. Aber irgendwie kommt es mir komisch vor, so weit auszuholen.
Also sehen sollte man das im Normalfall nicht, dass das 1/(1-x^2) die Ableitung von tanh^{-1} ist. Und das zu beweisen würde dann ja über die Ableitung der Umkehrfunktion funktionieren. Ich denke das ist irgendwie etwas weit vom Thema entfernt.

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Integral von 1/(1 - x^2) ist doch eines der Standardintegrale, die man im Formelbuch nachschlägt. (War es früher zumindest).

Was genau euer Thema ist, kannst du aber besser einschätzen.

1/(1-x^2) kannst du aber auch via Partialbruchzerlegung integrieren.

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Hm. War mir noch nicht soweit bekannt.

1/(1+x^2) ist eher eins von den Integralen, die man kennt.

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In der Wikipedia hat's eine nützliche Tabelle:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen#Trigonometrische_und_Hyperbelfunktionen 

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Hatte übrigens heute in der Klausur eine ähnliche Aufgabe:

∑_n=2 1/(n^2-n) x^n

Die habe ich nicht so ganz hinbekommen.

Dafür kam ∑ n*x^n dran, die ich hier ja bereits auch schon als Teil von ∑n^2 x^n besprochen habe.

Vielen dank für die Hilfe nochmal.

Sonst lief die Klausur sogar relativ gut :)

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Bitte.

" Sonst lief die Klausur sogar relativ gut :) "

Das freut mich.

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Ich lasse die Frage mal "offen" vielleicht hat ja jemand noch eine bessere Idee.

∑_n=2 1/(n²-n) xⁿ

Bei 1/(n²-n) fallen mir als Erstes die Teleskopsummen ein. 

D.h. erst eine Partialbruchzerlegung für 1/(n²-n) und dann weiter schauen. Würde aber wieder zu  Logarithmen führen (ohne eine neue Idee). 

Alternative Idee: 1/n * 1/(n-1) sieht aus, wie 2 Integrationen nacheinander. 

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Achso ja. Es soll gelten:

∑_n=2 1/(n²-n) xⁿ = (1-x) ln(1-x) +x

Soweit ich mich erinnern kann.