Berechnen Sie folgenden Grenzwert mit eulerschem Grenzwert? an =( 1+ (1/(4n-1)))^{3n}

Question

ich muss die Grenzwert diese folge berechnen mit hilfe von eulersche grenzwert

aber ich kann den potenz irgendwie nicht ausformen !

an =( 1+ (1/4n-1))^⁽³ⁿ⁾

EDIT: In Überschrift vermutete fehlende Klammern ergänzt.

Comments

an =( 1+ (1/4n-1))^⁽³ⁿ⁾

1. Frage: Steht nur die 4 im Nenner oder meinst du

an =( 1+ (1/(4n-1)))^{3n}  ?

2. Frage: Welchen "Eulergrenzwert" kennst du denn?

lim_(n-> ∞) ( 1 + 1/n)^n = e

oder etwas Genaueres?

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl 

Answer 1

an =( 1+ (1/(4n-1)))^3n

 =( 1+ (1/(4n-1)))^{4n - 1 + 1 - n} 

 =( 1+ (1/(4n-1)))^{4n - 1} *  ( 1+ (1/(4n-1)))^{ 1 - n},  

Erster Faktor geht gegen e für n gegen unendlich.

Zweiter Faktor

 ( 1+ (1/(4n-1)))^{ 1 - n},   | 4n-1 = u  . 4n = u+1. n = 1/4 * (u+1) 

=  ( 1+ (1/(u))^{ 1 - 1/4 * u+1})

=   ( 1+ (1/(u))^{  - 1/4 * u+ 2},

=   (( 1+ (1/(u))^{-u})^{1/4} * ( 1 + 1/u)^2 

Grenzwert  (u gegen unendlich) 

= (e^{-1})^{1/4} * ( 1 + 0)^2 = e^{-1/4} * 1 = e^{-1/4} 

Insgesamt (beide Faktoren)

an =( 1+ (1/(4n-1)))^{4n - 1} *  ( 1+ (1/(4n-1)))^{ 1 - n}

----> e * e^{-1/4} = e^{1- 1/4} = e^{3/4}

Bitte selbst nachrechnen! Vielleicht findest du dann auch eine kürzere Rechnung (?)