Extrapolation Messergebnisse

Question

Hey vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen. Zuerst stell ich mal kurz die Aufgabe vor. 

Bei einer Laborversuch wurde ein isoliertes Rohr gleichmäßig erwärmt. Da die Dämmung bei einer Temperatur von über 100°C Schaden nehmen würde, wurde der Versuch dort abgebrochen. Nun soll mit der Hilfe einer Extrapolation die eigentliche Endtemperatur ermittelt werden, die sich am Ende eingestellt hätte.

gegeben ist hierzu folgende Gleichung:

dabei ist: 

In der Messung wurden folgende Werte ermittelt:

zeit t in s	Temperatur in °C
0	24,2
30	25,9
60	28,3
90	30,5
120	32,6
150	34,9
180	37,1
210	39,2
240	41,3
270	43,3
300	45,3
360	49,0
390	50,8
420	52,6
480	56,0
510	57,6
540	60,7
600	62,3
630	63,8
660	65,2
690	66,7
720	68,0
750	69,3
780	70,7
840	73,0
900	75,4
960	76,6
1020	78,7
1080	80,7
1140	82,7
1200	84,6
1260	86,1
1320	87,8
1380	89,4
1140	91,4
1500	92,3
1560	93,3
1620	94,6
1680	95,6
1740	96,7
1800	97,6
1860	98,5
1920	99,4
.	.
.	.

Realisieren werden soll das ganze mit Excel, indem man eine Trendlinie einfügt und diese so genau wie möglich an die Messwerte anpasst, um den Endwert zu ermitteln.

In der Gleichung müssen zwei Werte gleichzeitig geändert werden um die Linien exakt anzupassen. Zum einen  (T)end und zum anderen das Tau. Um in einer Tabelle gleichzeitig Werte zu ändern benötigt man von Exel die Solver Funktion. 

Hier meine Probleme: 

1. ich weiß nicht wie ich eine "Trendlinie" mache und diese dann anpasse.

2. Wie ich die Formel umstelle und vor allem wo nach? T(t) ?

3. Wie ich das mit der solver Funktion anwende? muss man da irgendwelche Differenzen bilden?

Als Ergebnis muss in etwa rauskommen.

T(end) = 389 K = 115,85°C

Tau = 1100s

und graphisch...

Ich hoffe ich habe mein Problem verständlich rüber gebracht. :D

Answer 1

Hi,
die Messergebnisse sollen ja durch folgende Gleichung approxiniert werden.
$$ \frac{T(t) - T_{Start}}{T_{End} - T_{Start}} = 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} $$
Das macht man mittels kleinster Quadrate, also diese Funktion muss minimiert werden
$$ \sum_{i=1}^n \left( \frac{T(t) - T_{Start}}{T_{End} - T_{Start}} - 1 + e^{-\frac{t}{\tau}}  \right)^2  $$
Dazu müssen die partiellen Ableitungen nach \( T_{End} \) und \( \tau \) gebildet werden und Null gesetzt werden. Diese beiden Gleichungen müssen nach \( T_{End} \) und \( \tau \) aufgelöst werden. Vielleicht mit dem Solver.

Ergebnis ist \( T_{End} = 117.082 \) und \( \tau = 1141.29 \)