Frage zu NS einer Polynomfunktion

Question

Gegeben ist die Funktion F(x)= -1/9x⁴ + 4/3x² -3

Bestimmen Sie die Nullstellen!

Am einfachsten wäre die Substitution. Damit komme ich auch auf die richtige Lösung. x1= Wurzel aus 3, x2= Wurzel aus -3, x3= -3, x4= 3

Wenn ich allerdings über die Polynomdivision rechne bleibe ich bei F(x) = -1/9x² -2/9x -1/3 stecken mit den Nullstellen x3= -3, x4= 3

und komme nicht auf die richtigen anderen beiden Nullstellen mit der pq-Formel.

Wo liegt das Problem?

Comments

Am einfachsten wäre die Substitution.
Damit komme ich auch auf die richtige Lösung.
x1= Wurzel aus 3, x2= Wurzel aus -3, x3= -3, x4= 3

Das Hervorgehobene ist nicht richtig!

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Du hast recht, das richtige Ergebnis ist " - Wurzel aus 3".

War ein Schreibfehler. Danke für den Hinweis.

Answer 1

Hallo Alpi,

offensichtlich machst du Fehler bei der Polynomdivision:

 ( -1/9 x⁴ + 4/3 x² - 3 ) : ( x - 3) =  -1/9 x³ - 1/3 x² + 1/3 x + 1

 ( -1/9 x³ - 1/3 x² + 1/3 x + 1 ) : ( x + 3 )  =  -1/9 x² + 1/3  

 -1/9 x² + 1/3  = 0 | • (-9)

x² - 3 = 0  | + 3

x² = 3  | √

x = ± √3

Hier  findest du einen Online-Rechner für die Polynomdivision, der auch den kompletten Rechenweg zum Nachprüfen angibt.

Die Polynomdivision durch Linearfaktoren kann man einfacher mit dem Hornerschema durchführen. Letzteres wird in diesem  Video erklärt:

www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, zunächst erstmal danke für die hilfreichen Links. Ich habe den Rechner gleich mal ausprobiert. Ich komme damit allerdings auf folgendes Ergebnis nach zweimaliger Polynomdivision:

1/9x² + 2/3x + 7/3 + 6/(x-3) = 0

also ein Rest von "6"

Was habe ich denn nun falsch gemacht ?

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Direkt aus dem Lösungsweg des Online-Rechners kopiert:

( - 1/9x^4            + 4/3x^2       - 3) : (x - 3)  =  -1/9x^3 - 1/3x^2 + 1/3x + 1

  - 1/9x^4  + 1/3x^3

 ———————————————————————————————————————

            - 1/3x^3  + 4/3x^2       - 3

            - 1/3x^3  +    x^2

            ————————————————————————————

                        1/3x^2       - 3

                        1/3x^2  - x

                        ————————————————

                                  x  - 3

                                  x  - 3

                                  ——————

                                       0

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( - 1/9x^3  - 1/3x^2  + 1/3x  + 1) : (x + 3)  =  -1/9x^2 + 1/3

  - 1/9x^3  - 1/3x^2

 ————————————————————————————————

                        1/3x  + 1

                        1/3x  + 1

                        —————————

                                0

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Das passiert wenn man von Anfang an durch (x+3) anstatt (x-3) dividiert :) . Was für ein schöner Folgefehler .

Danke für die Hilfe!

Answer 2

Am einfachsten wäre die Substitution.

Noch einfacher wären sicher elementare Umformungen, etwa das Ausklammern von \(-1/9\) und das Faktorisieren des Ergebnisses mit dem Satz von Viéta. Danach können die Nullstellen abgelesen werden:

$$ \begin{aligned}F(x) &= -\frac { 1 }{ 9 } \cdot x^4 + \frac { 4 }{ 3 } \cdot x^2 -3 \\\,\\     &= -\frac { 1 }{ 9 } \cdot \left( x^4 - 12 \cdot x^2 +27 \right) \\\,\\     &= -\frac { 1 }{ 9 } \cdot \left( x^2 - 3 \right) \cdot \left( x^2 - 9 \right) \\\,\\     &= \dots\end{aligned} $$

(Hat man es aber nicht so mit Viéta, dann kann man auch das Polynom aus der zweiten Zeile durch \(\left(x^2-9\right)\) dividieren, denn wenn etwa \(x=3\) als Nullstelle identifiziert wurde, dann muss wegen der hier vorliegenden Symmetrie auch \(x=-3\) eine Nullstelle sein.)