Lineare Abbildung.Matrix bestimmen

Question

Brauche bei folgender Aufgabe eure Hilfe:

Geben Sie falls möglich eine Matrix A an, sodass die lineare Abbildung R^2->R^2 mit f (x)=Ax jeweils die folgende Abbildung definier:

- Spiegelung an der Geraden y = -x und anschließend Streckung auf dir halbe Länge.

Wie muss ich bei solchen Aufgaben vorgehen ?

Danke schon einmal fürs Helfen !

Answer 1

\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)  ↦  \(\begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}\)  ↦  \(\begin{pmatrix} -1/2·y \\ -1/2· x \end{pmatrix}\)

 \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}\)  = \(\begin{pmatrix} -1/2·y \\ -1/2·x \end{pmatrix}\) 

die letzte Gleichung muss für alle (x,y) ∈ ℝ² gelten:

(0,1)  →  b = -1/2 und  d = 0

(1,0)  →  a =  0     und  c = -1/2  

 →   gesuchte Matrix   A  =  \(\begin{pmatrix} 0&-1/2\\ -1/2&0\end{pmatrix}\)

→   f(x)  =  \(\begin{pmatrix} 0&-1/2\\ -1/2&0\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 

Gruß Wolfgang