Kardinalität von Vektorraumhomomorphismen

Question

Wie viele Vektorraumhomomorphismen gibt es von F9 nach F9 über F9 und wie viele von F9 nach F9 über F3. Am besten mit Begründung, möchte das natürlich auch für andere Aufgaben dieses Typs verstehen :)

Comments

Was ist denn ein Vektorraumhomomorphismus von \( \mathbb{F}_9 \) nach \( \mathbb{F}_9 \) über \( \mathbb{F}_3 \)?

---

Eine Abbildung mit speziellen Eigenschaften wie zum Beispiel der Assoziativität der Addition und Multiplikation oder dem Vorhandensein eines neutralen Elements. Mir fällt es aber schwer, einen direkten Bezug zu meiner Frage herzustellen...

---

Ein Vektorraumhomomorphismus ist eine Abbildung (mit speziellen Eigenschaften) von einem Vektorraum in den anderen.

Diese Abbildung kann allerdings kein neutrales Element haben, denn was ist schon das neutrale Element einer Abbildung?

Meinst du mit einem Vektorraumhomomorphismus von \( \mathbb{F}_9 \) nach \( \mathbb{F}_9 \) über \( \mathbb{F}_3 \) die Schreibweise \( \mathbb{F}_9 \rightarrow \mathbb{F}_9/\mathbb{F}_3 \)?

---

Ah, also ich meinte Vektorraumhomomorphismen von F9 -> F9, wobei mit F9 bzw. F3 die Skalarmultiplikation entsteht, sodass also a*f(x)=f(ax) für ein a aus F3 bzw. F9.

---

Das heißt, \( f \) bildet ab von \( \mathbb{F}_9 \) mit Koeffizienten in \( \mathbb{F}_9 \) nach \( \mathbb{F}_9 \) mit Koeffizienten in \( \mathbb{F}_3 \), also von \( \mathbb{F}_9 \) über \( \mathbb{F}_9 \) nach \( \mathbb{F}_9 \) über \( \mathbb{F}_3 \)?

---

Also ich bin mir nicht sicher, ob ich dem so eindeutig zustimmen kann. Ich ahbe grad auf jeden Fall festgestellt, dass ich heute zu später Stunde die Axiome durcheinander gebracht (VR vs VR-Hom.).

Also für einen VR-Hom von V nach W über K gelten folgende Bedingungen:

f(v+w)=f(v)+f(w)

f(0)=0

f(av)=af(v)

wobei v und w aus V und a aus K sind.

Nun zu meiner Frage zurück:

V und W sind in meinem Fall F9 und K ist in Fall 1 F9 und in Fall 2 F3. Gesucht ist die Menge der Homomorphismen IHom(F9,F9)I über K.

---

Jetzt fragt sich zunächst, ob \( \mathbb{F}_9 \) ein Körper ist.

Die Frage ist natürlich so gesehen rhetorisch, da \( 3 \in \mathbb{F}_9 \) nicht invertierbar ist.

Also ist \( V = \mathbb{F}_9 \) schon mal kein Vektorraum über \( \mathbb{F}_9 \), weil \( \mathbb{F}_9 \) kein Körper ist.

Für den zweiten Fall \( K = \mathbb{F}_3 \) stellt sich zunächst die Frage, wieviele linear unabhängige Elemente es in \( V = \mathbb{F}_9 \) als \( \mathbb{F}_3 \)-Vektorraum gibt.

---

Oh, dann hat mein Prof wohl eine spezielle Notation. F9 ist in der VL ein Körper mit F9 = { a+bj I a,b aus F3}. Zusätzlich gilt j^2=-1.

---

Was verbirgt sich dann hinter \( \mathbb{F}_3 \)?

---

Der Körper enthält die Element 0,1,2, wobei Addition und Multiplikation "normal" bis auf 1+2=0, 2+2=1.

---

Wenn \( \mathbb{F}_9 \) ein Körper ist, dann ist \( \mathbb{F}_9 \) als \( \mathbb{F}_9 \)-Vektorraum eindimensional.

Als \( \mathbb{F}_3 \)-Vektorraum ist \( \mathbb{F}_9 \) zweidimensional.

---

Das hieße also es gebe 9 Homomorphismen mit F9 als Körper und 81 mit F3 als Körper, oder? Und warum wird er mit F3 zweidimensional?

---

Er ist per Konstruktion zweidimensional für \( \mathbb{F}_3 \). Eine Basis ist \( \{1, j \} \).

Ich würde sagen, es gibt nur sehr wenige Homomorphismen für jeden der beiden Fälle.

---

Ok, danke, hab verstanden, allerdings weiß ich jetzt noch nicht, wie viele Homomorphismen es genau gibt, was gerade das ist, das mich interessiert.

---

Also ich würde meinen, es gibt nur einen Homomorphismus für Fall 1 und zwei Homomorphismen für Fall 2.

---

Genauer überlegt sind es wahrscheinlich mehr.

---

Hmm, aber ich weiß mit Sicherheit, dass die Lösunng für den Fall 1 9 ist. Angenommen, ich stelle F9 als a+bi dar, dann wären f(x)=x*a und g(x)= x*2a ja schon 2 Homomorphismen.

---

Hm, also für \( a \in \mathbb{F}_9 \) ist \( f(x) = ax \) schon ein Homomorphismus und da \( \mathbb{F}_9 \) der Elemente \( 9 \) hat, gibt es \( 9 \) solche Homomorphismen.

Aber warum gibt es keine weiteren? Gibt es keine weiteren, weil Vektorraumhomomorphismen höchstens linear sein dürfen?

---

Beim zweiten Fall würde ich es für möglich halten, dass die Lösung 18 ist.

---

Warum es keine weiteren gibt? Hmm, wahrscheinlich wirklich wegen der Linearität, ich hab schon oft sowas zeigen oder widerlegen müssen und mehr als Linearität ist meistens schief gegangen. Nur in F2 kann ich mich da an etwas erinnern, das funktioniert hat. Also die 9 erscheint mir deswegen schon durchaus plausibel. Aber wie kommst du auf die 18?

---

Die 18, dachte ich gestern, wären 2 mal 3 mal 3 Möglichkeiten. Die zwei rührte her von Vertauschung der Basiselemente.

Das ist aber wahrscheinlich falsch, es sind wahrscheinlich tatsächlich 81 verschiedene Möglichkeiten, weil es genau so viele 2x2-Matrizen mit Einträgen in F_3 gibt.

Answer 1

also ich fasse nochmal zusammen und ergänze unsere Diskussion zu einer Antwort.

Für einen Vektorraum \( V \) über \( K \) ist die Menge aller Vektorraum-Homomorphismen von \( V \) nach \( V \) (sprich aller Vektorraum-Endomorphismen) über \( K \) gegeben durch die Menge aller linearen Abbildungen.

Die Menge aller linearen Abbildungen lässt sich als Menge aller \( n \times n \)-Matrizen mit Einträgen in \( K \) darstellen, wobei \( n \) die \( K \)-Dimension von \( V \) ist.

Für den ersten Fall ist \( V = \mathbb{F}_9 \) und \( K = \mathbb{F}_9 \). Damit ist \( n = \dim_K(V) = 1 \) und die Menge aller \( n \times n \)-Matrizen umfasst genau 9 verschiedene Elemente.

Für den zweiten Fall ist \( V = \mathbb{F}_9 \) und \( K = \mathbb{F}_3 \). Damit ist \( n = \dim_K(V) = 2 \) und die Menge aller \( n \times n \)-Matrizen umfasst genau \( 3^4 = 81 \) verschiedene Elemente.

Mister

Answer 2

Vektorraumhomomorphismen sind genau die linearen Abbildungen. Finde eine Basis des Vektorraumes. Jede lineare Abbildung ist umkehrbar eindeutig durch die Bilder der Basis festgelegt. Es gibt also genau so viele Vektorraumhomomorphismen wie es Möglichkeiten gibt, die Bilder der Basis festzulegen.