Linksseitigen/rechtsseitigen Grenzwert berechnen

Question

Kann mir jemand helfen, wie ich den linkseitigen und den rechtseitigen Grenzwert berechne? Ich weiss, dass es den linkseitigen und rechtseitigen Grenzwert braucht + es muss mit dem Funktionswert übereinstimmen, damit es überhaupt ein Grenzwert ist. Jedoch ist mir immer noch unverständlich, wie ich diese errechne. Hoffe jemand kann es mir verständlich und einfach erklären:)

Comments

Wie lautet denn deine Funktion ? Ist es eine gebrochen Rationale Funktion ? Kannst Du eventuell Nullstellen das Zählers gegen Nullstellen des Nenners kürzen?

Answer 1

Allgemein: Hat eine Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle x0 sowohl einen rechts- als auch einen linksseitigen Grenzwert und sind die beiden Grenzwerte gleich, dann hat die Funktion f an der Stelle x = x0 einen Grenzwert.

Beispiel: f(x) = (x² - 4)/(x -2)

An der Stelle x0 = 2 soll der Grenzwert der o. g. Funktion untersucht werden.

Es gilt unter Verwendung der 3. binomischen Formel: f(x) = (x + 2)*(x - 2))/(x -2) = x + 2 für alle x verschieden + 2

Linksseitiger Grenzwert (entspricht Annäherung von links an Stelle x0 = 2): lim (f(x) = x +2) für x gegen 2^-

Einsetzen von x = 2 ergibt Grenzwert_linksseitig = 4, d.h. die Funktion nähert sich von links dem Wert 4.

Rechtsseitiger Grenzwert (entspricht Annäherung von rechts an Stelle 2): lim (f(x) = x +2) für x gegen 2⁺

Einsetzen von x = 2 ergibt Grenzwert_rechtsseitig = 4, d. h. die Funktion nähert sich von rechts dem Wert 4.

Grenzwert_linksseitig = Grenzwert_rechtsseitig = 4, somit lim (f(x) = x +2) fur x gegen 2 = 4

Comments

Allgemein: Hat eine Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle x0 sowohl einen rechts- als auch einen linksseitigen Grenzwert und sind die beiden Grenzwerte gleich, dann hat die Funktion f an der Stelle x = x0 einen Grenzwert.

Hast du für diese Aussage auch einen Beweis?