Stellen Sie die Terme ohne Binomialkoeffizienten und Fakultäten dar

Question

Folgende Aufgaben:

Die Lösungen dafür habe ich, mir fehlt aber wirklich der komplette Ansatz um überhaupt zu beginnen.

Answer 1

$$\binom{n+1}{n-2}=\frac{(n+1)!}{(n-2)! (n+1-n+2)!}=\frac{(n+1)!}{(n-2)! 3!}=\frac{(n-2)! (n-1) n (n+1)}{2 \cdot 3 \cdot (n-2)!}=\frac{(n-1)n (n+1)}{6}$$

Hilft dir das weiter?

Im allgemeinen gilt es dass

$$\binom{x}{y}=\frac{x!}{y!(x-y)!}$$ wobei x ≥y

Comments

Wie kommst du von "(n+1)!" im Zähler auf "(n−2)!(n−1)n(n+1)" im nächsten Schritt?

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7! = 4! * 5 * 6 * 7

(n+1)!  =  (n+1 - 3)! * (n+1 - 2) * (n+1 - 1) *  (n+1)

=   (n-2)! * (n-1) * n * (n+1)

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$$(n+4)!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \cdot (n+4)$$

Wie kann man (n+4)! schreiben sodass der Term n! vorkommt?

Answer 2

2·((n + 1 über n) + (n + 1 über 2))

= 2·((n + 1)!/(n!·(n + 1 - n)!) + (n + 1)!/(2!·(n + 1 - 2)!))

= 2·((n + 1)!/(n!·1!) + (n + 1)!/(2!·(n - 1)!))

= 2·((n + 1)!/n! + (n + 1)!/(2·(n - 1)!))

= 2·(n + 1)!/n! + (n + 1)!/(n - 1)!

= 2·n!·(n + 1)/n! + (n - 1)!·n·(n + 1)/(n - 1)!

= 2·(n + 1) + n·(n + 1)

= 2·n + 2 + n^2 + n

= n^2 + 3·n + 2

Merke

(n über k) = n! / (k! * (n - k)!)

und

n! = (n - 1)! * n