Komplexe Zahlen in der Form z = x +yi angeben

Question

Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z= x + iy mit x,y ∈ ℝ & i^2 = -1 und geben Sie Ihren Betrag.

a) z = u ^{konjugiert also oben ist ein Strich} * v wobei u= 4i - 1 und v= 3-i

b) z= i^3 / ( i^3 - i^5)

z=2e ^ (-16iπ / 3)

!!

Answer 1

Kannst du c) so besser lesen? 

z=2e ^ (-16iπ / 3)

= 2 * ( cos (-16π/3)  + i sin (-16π/3))     

                       | Addiere bei den Argumenten so oft 2π = 6π/3 bis etwas Bekanntes erscheint.

                       | + 18π/3 

= 2* ( cos( 2π/3) + i sin ( 2π/3))     | Kennst du von: https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Wichtige_Funktionswerte

= 2*(-1/2 + i * √(3)/2 ) 

= - 1 + i*√(3) 

Comments

Ich verstehe nicht warum ich + 18π/3 addieren soll

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Damit du auf Werte kommst, die du ziemlich sicher auswendig wissen solltest.

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Wichtige_Funktionswerte

Du kannst diese Werte auch mit dem Pythagoras jedes mal neu herleiten.

Ausführlicher hier: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=qJOIoWTLkGY

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In Wikipedia steht aber nicht cosinus von  2π/3 und cosinus von 2π/3ergibt nicht -1/2.

In wiki steht etwas zu π/3

Wie kommst du auf diesen Term 2*(-1/2 + i * √(3)/2 )

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Hast du das verlinkte Video angeschaut?

Dann solltest du eigentlich wissen, wie man von cos(π/3) = cos(60°) zu cos(2π/3) =cos(120°) kommt. (Vorzeichen  ändern)

Ebenso kommst du von sin(60°) via Einheitskreis problemlos zu sin(120°) . (Vorzeichen lassen, wie es ist) 

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Dankeschön jetzt habe ich es begriffen,  wie kommst du drauf dass 2π =6π/3

"Addiere bei den Argumenten so oft 2π = 6π/3"

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Stimmt es dass weil eins Kreis 2π entspricht man mit (also 2 ganze) 6/3π addiert statt 3/3π

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Ja. Das ist richtig.

Answer 2

komplexe zahlen in der form z = x +yi

Comments

Danke, frage zu a

 |z| = √ (reale teile)^2 + (imaginäre teil)2

I ist doch der imaginäre Teil also indem Fall 11 & der real Teil 7oder habe ich was falsch verstanden weil i steht doch für imaginär?

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Betrag von z lautet doch √x^2 y^2 oder √(z * z quer)

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7 ist der Realteil

11 ist der Imaginärteil

Betrag= √ (7^2 +11^2) =√170

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zu b:

Wie kommt man von - i/ -2i  auf 1/2??? Und ist der Betrag von nicht 0,5^2??

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1.)Wie kommt man von - i/ -2i  auf 1/2???

durch Kürzen, das i kann man kürzen , das Minus auch.

2.) Und ist der Betrag von nicht 0,5²??

nein

Betrag =√(Realteil)^2 +(Imteil)^2)

=√ (1/2)^2 +0^2) , es ist kein Imteil vorhanden

=1/2

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Zu c.

Was ist dieses Zeichen in der klammer

z=2 ( ....