Komplexe Gleichugn z^4=i Gaußsche Zahlenebene

Question

Hallo ich hätte eine kleine Frage.

Gegeben ist die folgende Gleichung: z^4=i

könnte mir jemand verraten wie man auf die Koordinatendarstellung in der Gaußschen Zahlenebene kommt?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%3D1*i

Answer 1

Jede komplexe Zahl ungleich 0 hat 4 verschiedene 4. Wurzeln.

In der Zahlenebene erhältst du von der ersten den Winkel , in dem du den Winkel der Zahl durch 4 teilst

und als Betrag die 4. Wurzel aus dem Betrag der Zahl nimmst. Das ist hier 1.

Der zu i gehörige Winkel ist pi/2

Also wäre die 1. Lösung der Gleichung z1 = cos(pi/8) + i*sin(pi/8)

und wenn du das in Koordinaten haben willst.

( cos(pi/8) + sin(pi/8) ) = (  0,5*√(2+√2) ,  0,5*√(2+√2)  )

Und die anderen bekommst du, wenn du zu dem Winkel noch n*pi/2 addierst

für n=1,2,3.

Comments

Hallo,

erhalte ich pi/2 indem ich die Koordinaten einzeichne und den Winkel einfach ablese?Hier ist ja nur ein Imaginärteil gegeben also wäre der Realteil 0 und dementsprechend ein Winkel von 90 Grad also pi/2?

Gäbe es noch eine andere Möglichkeit diesen zu bestimmen?

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Es ist allgemein bei der k-ten Wurzel so, dass du immer

die Vielfachen von 2pi/k addieren kannst.

Bei k=4 alsp 2pi/4 = pi/2.

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Das ist ja noch einfacher :)

Eine letzte frage hätte ich noch ist mit ( cos(pi/8) + sin(pi/8) ) = (  0,5*√(2+√2) ,  0,5*√(2+√2)  ) die Darstellung gemeint die ich bei Wolframalpha finde? Also in der Gaußschen Zahlenebene?

Vielen Dank für deine Hilfe

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Ja, das ist der Punkt im ersten Quadranten, also

ungefähr ( 0,92 ; 0,38 )

Die anderen 3 - wie gesagt - durch Addition von pi/2

in dem cos- bzw. sin-Term .