Wahrheitstafel. Implikation mit einer Formelmenge mit 2 Tupeln

Question

Moin

sei folgende Behauptung:

EDIT(Lu): Die Abbildung die nicht angezeigt wurde findet man im Kommentar. 


Mich irritiert hier der erste Tupel in der Menge. Wie steht der erste Tutel mit dem Rest der Implikation in Verbindung? Letztlich sagt die Behauptung dass die Menge im Ganzen Modell für "negA" ist, bzw. negA impliziert. 
Ich erkläre mal die Formel wie ich sie verstehe: Damit diese Annahme stimmt, muss sowohl der erste als auch der zweite Tupel Modell für negA sein. 
Der erste Tupel wird zu falsch ausgewertet. Der zweite Tupel kann entweder falsch oder wahr sein, je nachdem ob C oder negA ausgewertet wird. Das bedeutet wiederum im Ergebnis, dass es für den 2. Tupel eine Möglichkeit gibt, dass nicht wahr ist. 

Habe ich diese Formel soweit richtig gelesen?

Gruß und schönes Wochenende!

Comments

Es geht um diese Formel:

{B ∧ ¬C, (A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A)} ⊧ ¬A

Die Behauptung sagt, dass die Menge im Ganzen Modell für ¬A ist, oder anders ausgedrückt ¬A impliziert.  

Mich irritiert hier wie die beiden Tupel in der Menge voneinander getrennt werden. Würde da stehen, dass (A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A) ⊧ ¬A   dann wäre mir klar wie ich die Formel zu verstehen habe, aber nun gibt es in der Menge 2 Tupel zu berücksichtigen.

Ich erkläre mal die Formel wie ich die Formel weiterhin verstehe:

Damit die Behauptung stimmt, muss sowohl der erste als auch der zweite Tupel Modell für ¬A sein, also (1) B ∧ ¬C  ⊧ ¬A  UND (2) (A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A) ⊧ ¬A

Der erste Tupel wird zu falsch ausgewertet, weil die Semantik von (B ∧ ¬C) 0 ist.
Der zweite Tupel (A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A) kann entweder falsch oder wahr sein, je nachdem ob C oder ¬A ausgewertet wird.
Das bedeutet wiederum im Ergebnis, dass es für den 2. Tupel genau eine Möglichkeit gibt, dass (A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A) ⊧ ¬A  nicht stimmt, nämlich dann wenn von (C ∨ ¬A) das C ausgewertet wird.

Hab ich das bis hierhin richtig verstanden?

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Ausserdem:

Wieso wird hier bei der Angabe der Lösung, der erste Tupel - nämlich B ∧ ¬C - weggelassen?

Answer 1

> Mich irritiert hier wie die beiden Tupel ...

Da sind keine Tupel in der Menge, sondern Formeln.

> ... in der Menge voneinander getrennt werden.

Sie werden mit einem Komma getrennt, weil das die übliche Notation ist, die Elemente einer Menge voneinander zu trennen.

Für zwei Mengen M und N ist M ⊧ N definiert als "jedes Modell von M ist auch Modell von N".

Eine Belegung heißt "Modell einer Menge von Formeln", wenn die Belegung jede Formel der Menge erfült.

> Damit die Behauptung stimmt, muss sowohl der erste als auch der zweite Tupel Modell für ¬A sein, ...

Das ist nicht richtig. Damit die Behauptung stimmt, muss

        ((B ∧ ¬C) ∧ ((A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A))) ⇒ ¬A

eine Tautologie sein.

Comments

> Das ist nicht richtig. Damit die Behauptung stimmt, muss ((B ∧ ¬C) ∧ ((A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A))) ⇒ ¬A eine Tautologie sein. "

Darf ich daraus induktiv schließen, dass zwei Formeln in einer Formelmenge (getrennt durch ein Komma) stets "und"-verknüpft werden?

Anders formuliert: Gibt es einen Fall, in dem 2 Formeln in einer Formelmenge (nehmen wir die Formel aus meiner Aufgabe) "oder"-verknüpft werden? So dass:  ((B ∧ ¬C) ∨ ((A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A))) ⇒ ¬A   ? 

> Da sind keine Tupel in der Menge, sondern Formeln.

Ach stimmt. Ein 2-Tupel wäre z.B. das hier oder?  {(F,G)}  Hab das komplett verwechselt.

Dankeschön!

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" Darf ich daraus induktiv schließen, dass zwei Formeln in einer Formelmenge (getrennt durch ein Komma) stets "und"-verknüpft werden? "

Wolframalpha macht das im ersten Interpretionsversuch vermutlich so. Teste das dort mal. 

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Wie gibst Du die Formel dort ein?

Wenn ich

{B ∧ ¬C, (A ∧ B)  ⇒  (C ∨ ¬A)} ⊧ ¬A    eingebe, dann erhalte ich  {B ∧ ¬C, (A ∧ B) ⇒ (C ∨ ¬A)}

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Sagt dir, dass Wolframalpha deine Eingabe nicht deuten kann.

Wolframalpha fragt dich nun, ob es mit der geschweiften Klammer weiterrechnen soll.

Auch folgedermassen muss Wolframalpha einfach mal eine Annahme zu einem Klammer-mis-match machen. Es warnt dich, dass die Fragestellung mathematisch nicht über alle Zweifel erhaben war.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7BB+AND+NOT(C),+(A+AND+B)++implies++(C+OR+NOT(+A)%7D+implies+NOT(+A)

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> Darf ich daraus induktiv schließen, dass zwei Formeln in einer Formelmenge (...) stets "und"-verknüpft werden?

Wenn es um die ⊧-Beziehung geht, dann darfst du dir das so vorstellen. Allerdings: Formelmengen dürfen unendlich groß sein. Verknüpfst du alle Formeln einer unendlich großen Formelmenge mit einem "und", dann bekommst du eine Formel, die unendlich lang ist. Das darf nicht sein. Aber, wie gesagt, für die Vorstellung reicht's.

> Gibt es einen Fall, in dem 2 Formeln in einer Formelmenge (...) "oder"-verknüpft werden?

Es kommt auf den Zusammenhang an, in dem die Formelmenge verwendet wird. Zum Beispiel werden die Klauseln im Resolutionskalkül oft als Mengen geschrieben. Wird die Formelmenge auf diese Weise verwendet, dann werden die Elemente "oder"-verknüpft.