Beweis einer Implikation (Wahrheitstafel)

Question

Liebe Lounge,

ich habe eine Frage zum Beweis einer Implikation A-->B.

Die Implikation ist ja nur falsch, wenn die Voraussetzung A wahr ist und die Folgerung falsch.

Dennoch nimmt man doch für unseren Beweis an, dass die Voraussetzung wahr ist oder? Sprich, man würde die Implikation beweisen, indem man die 4. Zeile der Wahrheitstabelle nutzt.

Man setzt voraus, dass A stimmt und zeigt dann, dass dies impliziert, dass auch B stimmt.

Sprich: Die ersten drei Zeilen der Tabelle sind für unseren Beweis der Implikation nicht von Bedeutung, stimmt das?

Answer 1

Ja, so in der Art. Die ersten beiden Zeilen

spielen ja keine Rolle; denn da ist ja die Implikation

eh wahr. Man könnte also sozusagen jeden

Beweis einer Implikation mit den Worten beginnen:

"Angenommen die Voraussetzung ist nicht erfüllt,

dann ist die Impl. jedenfalls wahr."

Und dann kommt sozusagen als 2. Fall:

Angenommen die Vor. ist erfüllt. Dann

folgt ....   (und das wird solange

fortgeführt, bis sich am Ende zeigt:

Conclusio ist auch wahr.

Und damit ist die Wahrheit der Impl.

gezeigt.

Comments

Muss da nochmal nachhaken...

Geht es uns aber nicht nur genau darum, zu zeigen, dass wenn A wahr ist, dann auch B wahr ist?

So dachte ich es bislang.

Oder ist es so, dass man zeigen will, dass die Implikation wahr ist (und da eben darauf hinausläuft, dass man nur zeigt, dass aus einer wahren Voraussetzung eine wahre Behauptung folgt)?

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Ja, das ist doch beides das Gleiche.

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Okay. Und wie sieht es beim Beweis der Äquivalenz aus?

Man kann ja jetzt sicher zeigen, dass A-->B ∧ B → A  ⇔ (A⇔B) ist.

Dass heißt, um die Aussage A⇔B zu beweisen, muss man im Prinzip nur zeigen, dass

1. Wenn A wahr ist, ist auch B wahr (daraus folgt: A⇒B ist wahr)

2. Wenn B wahr ist, ist auch A wahr (daraus folgt: B⇒A ist wahr)

und somit eben auch A⇔B ist wahr.

Stimmt das ?

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Ja, so ist das perfekt.

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Könnte man nicht auch sagen, dass die Implikation A⇒B genau genau dann insgesamt wahr ist, wenn aus wahrem A ein wahres B folgt?

Z.B. sei A: Es regnet und B: Die Straße ist nass.

A⇒B wäre dann: Schon wenn es regnet, ist die Straße nass.

Wenn es nun tatsächlich regnet (Also A wahr ist) und die Straße nass wird (Also auch B wahr ist), ist die Aussage A⇒B in jedem Fall wahr.

Ist das so gemeint, dass wenn die Aussage A jetzt falsch ist (es also nicht regnet) die Aussage A⇒B darauf überhaupt keinen Bezug nimmt ? Sprich, da es nicht regnet ist die Aussage immer noch genau dann wahr, wenn sie stimmt falls A wahr ist und B dann auch?

Ich weiß, es ist kompliziert formuliert, aber so kompliziert sieht es leider gerade noch in meinem Kopf aus :(...

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Ist das so gemeint, dass wenn die Aussage A jetzt falsch ist (es also nicht regnet) die Aussage A⇒B darauf überhaupt keinen Bezug nimmt ?

Ja, so ist das .

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Hmm. Aber ich habe auch so etwas gelesen, wie:

A und B sind zwei logische Aussagen, dann ist auch A⇒B eine logische Aussage.

Sowohl A,B und A⇒B kann somit ein Wahrheitswert zugeordnet werden.

Wenn man A⇒B verbalisiert, kann man auch sagen A ist hinreichend für B. Sprich aus A kann man B folgern unabhängig davon, ob A und B selbst wahr sind.

Dass diese Folgerung wiederum wahr ist, hängt jetzt von den unterschiedlichen Wahrheitswerten der Aussagen A und B ab.

Vielleicht nehme ich nochmal ein mathematisches Beispiel:

A: n ist eine Natürliche Zahl.

B: q=n+(n+1)+(n+2) ist durch 3 teilbar.

Unabhängig, ob A oder B jeweils wahr oder falsch sind, kann man die Aussage A⇒B betrachten, die wiederum eigene Wahrheitswerte annimmt, die von A und B abhängen.

Wenn man jetzt die Aussage: Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist q=n+(n+1)+(n+2) ist durch 3 teilbar beweisen will, dann setzt man ja voraus, dass A war ist.

Diese Aussage:

Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist q=n+(n+1)+(n+2) ist durch 3 teilbar

ist doch dann eigentlich nicht das gleiche, wie A⇒B, da A auch hinreichend für B sein kann, wenn A falsch ist...

Demnach beweist man: Aus wahrem A folg wahres B. Und damit zeigt man automatisch, dass die Implikation A⇒B in diesem Kontext immer wahr ist.

Stimmt das so auch?

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Lieber Mathef, könnte ich nochmal eine Rückmeldung dazu bekommen? Du kannst auch gerne morgen antworten. Vielleicht kannst du dann nur schreiben: Antwort morgen... ich bräuchte die Antwort nämlich wirklich, um es zu verstehen !:)

Frohes Neues!

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Aus wahrem A folgt wahres B.

Genau so ist es !