Beweis der Substitutionsregel bei Integralen

Question

Der Beweis, den ich gefunden habe : https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

Mir geht es um folgendes Anliegen. Der Beweis baut auf, mit dem Integral von f'(g(x)*g'(x)

Das ist auch alles gut so, jedoch frage ich mich, ob der Beweis auch für z.B f'(g(x)*g'(x)*a(x) gilt. Denn das Substitutionsverfahren wird doch bei solchen Funktionen auch häufig genutzt, jedoch entgeht mir der Beweis für solche Fälle ein wenig. Beweist Wikipedias Beweis auch diese Fälle? (Wenn möglich recht recht simpel halten, bin noch Schüler :)

Mfg

Answer 1

Die Umkehrung der Integration ist ja die Ableitung.

Wenn man sich also mal eine verkettete Funktion schnappt

F(x) = u(v(x))

dann gilt für die Ableitung nach der Kettenregel

f(x) = u'(v(x))·v'(x)

Kehre jetzt das ganze um und es ergibt die Regel der Substitution.

Ändern tut sich daran nichts, solange nur konstante Faktoren dazukommen. Aber Achtung. Noch ein Faktor der ein x enthält ist nicht erlaubt, denn dann wäre auch die Produktregel einbezogen.

Comments

Danke erstmal!

Aber noch ein zusatz. Ich habe schon oft Leute/Mathematiker gesehen, die z.b

Cos(x^2)*2x*x^2 mit der Substitutionsregel lösen. In diesem fall mit u = x^2

Bis zum punkt 2x, stimmt die Form ja mit der Form des Beweises von Wikipedia zusammen. Das x^2 wäre aber jedoch laut ihnen/dir, ein x-zusatz oder nicht?

Warum funktioniert es dann?

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Manchmal kann man dann den Rest einfach auch noch Substituieren. Aber meist kommen dann noch weitere Methoden zum Einsatz und nicht nur die Kettenregel. Ich mache dir das mal vor:

∫ COS(x^2)·2x·x^2 dx

Subst z = x^2 und dz = 2x dx

= ∫ COS(z)·2x·x^2 dz/(2x)

= ∫ COS(z)·x^2 dz

= ∫ COS(z)·z dz

Jetzt allerdings die Partielle Integration nehmen

= COS(z) + z·SIN(z) + C

und jetzt wieder Resubstituieren

= COS(x^2) + x·SIN(x) + C

Ist das so etwas klarer geworden?

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Naja um es so zu sagen, ist genau das meine Frage.

Warum darf man den Rest einfach mit substituieren?

Klar, mit dx = dz/2x, also Infinitesimalen Zahlen, kommt das logisch vor.

Aber der Beweis von Wikipedia beruht auf der Limes Betrachtung, und hat wenig mit Infinitesimalen zu tun.

Bei dem Beweis von Wikipedia fällt es mir sehr schwer zu erkennen, wia man den Rest einfach mit substituieren kann, da die ganze Substitution darauf beruht, dass die Kettenregel angewendet werden kann, was mit Rest nicht mehr der Fall ist.

Gibt es also einen Beweis für das mit substituieren vom Rest, wobei man die neue Definition der Integration verwendet, ohne infinitesimale Zahlen?

Beispielsweise ist doch der Beweis von Wikipedia auch überflüssig, wenn man einfach darauf beruht du/dx zu verwenden, oder nicht.

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Die Kettenregel des Ableitens ist im Grunde genommen ja auch eine Substitution, nur mit dem Unterschied, dass man das meist nicht mit aufschreibt.

Und bei der Ableitung darf man den Term auch an allen Stellen ersetzen, wo man ihn findet

f(x) = x^2 + sin(x^2) + e^(x^2)

Subst. x^2 = z bzw. z(x)

f(x) = z + sin(z) + e^(z)

f'(x) = (1 + cos(z) + e^(z)) * z'

Resubst.

f'(x) = (1 + cos(x^2) + e^(x^2)) * 2x