Fragen zum Limes und L'Hospital

Question

Ich habe zwei Fragen:

1.) $$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { x+sin(x) }{x  }  } $$ Ich Habe l'hospital einmal angewendet und komme bei $$lim _{ x\rightarrow \infty  }{cos(x)} $$ an.

ist dann cos(x) nun die Lösung?

2.)$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { x-sin(x) }{ { sin }^{3  }(x) }  } $$

Hier bin ich mir unsicher. Ich habe l'hospital ein paar mal angewendet und bin an dem Punkt angelangt, wo ich x einsetzen kann, ohne dass der Nenner zu 0 wird. Ich hab hier 1/8 raus. ist dies nun der Limes? 

Answer 1

Wir betrachten dass x>0.

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow x-1 \leq x+ \sin x \leq x+1 \Rightarrow \frac{x-1}{x} \leq \frac{x+\sin x}{x} \leq \frac{x+1}{x} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{x} \leq \lim_{x \to +\infty} \frac{x+ \sin x}{x} \leq \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} \Rightarrow 1 \leq \lim_{x \to +\infty} \frac{x+ \sin x}{x} \leq 1 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{x+ \sin x}{x}=1$$

Answer 2

Hi,

lim x --> ∞ (x+sin(x))/x 

lim x --> ∞ 1+lim x --> ∞ sin(x)/x =1

Bei sin(x)/x ist der Zähler beschränkt und der Nenner strebt gegen unendlich. Deshalb strebt der Term gegen 0

Bei dem 2ten Grenzwert sind die Voraussetzungen für die Regel von lhospital nicht gegeben.

Da im Grenzwert gegen unendlich es unendlich viele Stellen gibt, für den der Nenner 0 wird, kann der Term nicht konvergieren.

Answer 3

Aufgabe 1)