Mengen Skizzieren prüfung aufgabe HM1

Question

Skizzieren Sie die Mengen M1 und M2

mit M1 = {z ∈ C : |z + 4i| · |z − 4| ≤ 0} ⊂ C

und M2 = {z ∈ C : | Re(z) − 2| + |2 − Im(z)| ≤ 4} ⊂ C,

und bestimmen Sie den Schnitt M1 ∩ M2 der beiden Mengen. 

DANKE!

Answer 1

|z + 4i| · |z − 4| ≤ 0  ⇔  |z + 4i| · |z − 4| = 0

→  M₁ = { 4 ; -4i }

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| Re(z) − 2| + |2 − Im(z)| ≤ 4

Sei  z = x + y · i

| x - 2 | + | 2 - y | ≤ 4

Jetzt gibt es vier Fälle, für die man die Ungleichung jeweils betragsfrei schreiben kann:

1. Fall:  x ≥ 2 und y ≥ 2

x - 2  - 2 + y ≤ 4   ⇔   y ≤ - x + 8

2. Fall:  x ≥ 2 und y < 2 

x - 2 + 2 - y ≤ 4   ⇔  y ≥ x - 4

3. Fall:  x < 2 und y ≥  2

- x + 2  - 2 + y ≤ 4   ⇔  y ≤  x + 4

4. Fall:  x < 2 und y < 2

- x + 2 + 2 - y ≤ 4   ⇔  y ≥ - x 

M₂ = { x + y · i | x,y erfüllt eine der vier Bedingungen " rot und blau " }

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mit x = 4,  y = 0  (für z=0 ∈ M₁)  bzw.   x = 0 und y = - 4 (für z = -4i ∈ M₁) ergibt sich 

   M₁ ∩ M₂ = { 4 }

Gruß Wolfgang