Skizzieren von Mengen und Teilmengen

Question

Aufgabe:

1) Zeichnen Sie die folgenden Mengen. Machen Sie dabei jeweils kenntlich, ob auch die Randpunkte
der Mengen enthalten sind. Geben Sie eine Begründung zu Ihrer Lösung an.
a) A ={x ∈R| x (ungleich) −2 und 3/|x+2| < 6 −3x}
b) B = {(x, y) ∈R2 | 3|x|+ |y|< 6}

3) Zeichnen Sie die folgenden Teilmengen im R2.
c) C = {(x, y) ∈R2 | x < 0, x = 1/y}∪{(0, 0)}∪{(x, y) ∈R2 | x > 0, y = 1/x}
d) D = {(x, y) ∈R2 | x < 0, y = 1/x}∪{(0, 0)}∪{(x, y) ∈R2 | x > 0, x = 1/y}

4)
Es seien a, b ∈R. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. Für alle a < 0 < b gilt:
a) 1/a > 1/b ,

b) 1/a < 1/b ,
c) 1/a ≥ 1/b ,

d) 1/a ≤ 1/b .
Was ändert sich, wenn a ≤ b < 0 gilt?

Problem/Ansatz:

Ich bin von den ganzen Zeichen etwas verwirrt und bräuchte etwas "Starthilfe":.

Answer 1

Bei 1a musst du nur die Ungleichung lösen

3/|x+2| < 6 −3x  | :3

<=>  1 / |x+2| < 2-x   (x≠-2 ist ja gegeben)

<=>   1 < (2-x)*|x+2|

Betrachte die beiden Fälle x<-2 und x>-2

1.  x<-2 dann ist  |x+2| = -x-2 also hast du

1 < (2-x)*(-x-2)

<=>  1 <  x^2 - 4

<=> 5 < x^2

<=>  x<  -√5   oder x>√5

Wegen x<-2 also der Bereich von -√5  bis -2 (ohne Ränder)

2. x>-2 dann ist |x+2| = x+2 also hast du
1 < (2-x)*(x+2)

<=>  1 <  4-x^2 
<=>    x^2 < 3
<=>  x<> -√3  und r x<√3
Wegen x>2 also der Bereich von 2 bis √3 (ohne Ränder)

noch was zu 4:  
Für alle a < 0 < b gilt: a) 1/a > 1/b ,

Wegen a < 0 < b gilt ab<0 also auch 1/(ab) < 0

Wenn du a < 0 < b mit 1/(ab) multiplizierst
dreht sich also das < um und du hast

          a/(ab) > 0 > b/(ab)

<=>     1/b > 0 > 1/a   q.e.d.

Comments

<=>  x<> -√3  und r x<√3
Wegen x>2 also der Bereich von 2 bis √3 (ohne Ränder)

ist da ein Tippfehler beim -√3? Und wieso x>2, dachte x>-2