Nach wie viel Jahren wird sich der Betrag verdoppelt haben? Probiere mit dem TR!

Question

ich bräuchte Eure Hilfe!

Ursula bekommt von ihren Eltern für ihre Hilfsbereitschaft 150€. Sie legt den Betrag auf ein Sparbuch mit 3- jähriger Bindung zum vereinbarten Zinssatz von 4,25%                                                                                 p.a.                                                                                            

(a) Wie viel Euro wird der Guthabenstand nach 3 Jahren betragen?

(b) Nach wie viel Jahren wird sich der Betrag verdoppelt haben? Probiere mit dem TR!

Mit der ersten Frage hatte ich keine Probleme:

$${ K }_{ n }={ K }_{ 0 }·(1+\frac { { p }_{ e } }{ 100 } )^{ n }\\ { K }_{ 3 }=150·(1+\frac { 3,1875 }{ 100 } )^{ 3 }\\ { K }_{ 3 }=150·(1+0,031875)^{ 3 }\\ \\ { K }_{ 3 }=150·1,031875^{ 3 }\\ \\ { K }_{ 3 }=150·1,09870543\\ \\ { K }_{ 3 }=164,805815\\ \\ { K }_{ 3 }\approx 165€$$
A: Nach 3 Jahren wird der Guthabenstand 165€ betragen.

Ich habe (b) so ausgerechnet:
Guthabenstand-Kapital= Zinsen
164,805815...€ -150€= 14,8058149€
Dann habe ich die Zinsen solange multipliziert bis ich auf das doppeltfache, also 300€ gekommen bin
Aber das Problem ist, dass sich der Betrag in 20 Jahren verdoppelt und die Lösung wäre eigentlich: nach 23 Jahren
und was ich auch nicht ganz so verstand ist, dass sich die Zinsen mit denen ich gerechnet habe erst nach 3 Jahren so viel betragen und nicht in einem Jahr

Answer 1

Lass das mit der Bindung mal gut sein. Das wird ja auf jeden Fall mehr als 3 Jahre dauern. 

4,25%    

gibt den jährlichen Faktor

1.0425 

Dann gilt nach x Jahren

300 = 150 * 1.0425^x 

Berechne nun 150 * 1.0425¹⁰ ≈ 227.432 ,

dann vielleicht 150 * 1.0425²⁰ ≈ 344.835

.... bis zu möglichst genau auf 300 kommst. Für x nur natürliche Zahlen einsetzen. Gibt aber auch weniger als x=20. 

Was bedeutet denn diese Bindung ganz genau? Ist 4.25% der Zinsatz für drei Jahre und nicht für 1 Jahr? 

Comments

Warum rechnet man dann mit 150?

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Wofür bekommt man denn Zins? Nur für den Zins und nicht für das ganze Kapital?

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So wie ich das verstehe ist bei b) gemeint, nach wievielen Jahren sich der ausgangsbetrag von 150€ verdoppelt hat. Also wie lange dauert dauert es bei der angegebenen Verzinsung,  bis aus den 150€ am Anfang 300 € geworden sind.

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Also was ich jetzt verstanden habe, ist, dass man immer den kapital mitrechnen muss und in diesem fall muss man mit den zinsen solange rechnen und mit dem kapital multiplizieren, bis man auf 300€ kommt

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Hmm so richtig gut gefällt mir deine Formulierung nicht. Richtig ist, dass man immer mit dem anfangskapital rechnen muss und diesem die Zinsen zuschlägt also addiert. Das tut man man in dem man das anfangskapital multipliziert mit dem Zinssatz hoch "Anzahl der Jahre". Jetzt muss man nur noch durch ausprobieren herausfinden, wieviel Jahre man als Exponent  (hochzahl) einsetzen muss um auf 300 zu kommen.

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" Warum rechnet man dann mit 150? "

Dann willst du ja selbst mit 150 Euro rechnen wie ich ;)

Ich komme allerdings auf x=17 für eine Verdoppelung. Mit x=16 hat man noch nicht ganz 300 Euro. 

Wie kommst du denn von den gegebenen 4.25% auf 3,1875 % ? 

Da müsstest du 1.031875 nehmen. Aber ich verstehe nicht, woher du diesen Wert hast. 

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@beater-girl

bist du sicher, dass für die Restzeit nach den drei Jahren Zinsbindung nicht ein zweiter Zinssatz von 2,8% genannt ist? Dann käme man nach 23 Jahren auf  299,51 €

Mit 2,85% wären es 302,44 €

Answer 2

a)

150 * (1 + 0.0425)³ = 169.95

b)

150 * (1 + 0.0425)^x = 300

(1 + 0.0425)^x = 2

1.0425^x = 2

x = LN(2) / LN(1.0425) = 16.7

Probieren sollte ein x zwischen 16 und 17 ergeben.