Winkel von Seiten und Ebenen von einem Haus berechnen

Question

 A(3|-3|7)   B(3|3|7)  C(-3|3|7)  D(-3|-3|7)  E(1|-4|0)

F(1|2|0)  G(-5|2|0)  H(0|-1,5|2,5)  S(0|0|13)

1. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Seiten FB und BC (rot markiert)und dann den Winkel zwischen den Seiten BS und BC (grün markiert).

vektor(FB) = B(3|3|7) - F(1|2|0) = (2|1|7)

vektor(BC) = C(-3|3|7) -  B(3|3|7) = (-6|0|0)

vektor(BS) =  S(0|0|13) -  B(3|3|7) = (-3|-3|6)

Winkel zwischen FB und BC          cos = 2·-6/ √(-6²)·√(2²+1²+7²)  = -√6/9   cos^-1(-√6/9) = 105,79369 Grad

Ist das richtig, ich dachte der Winkel beträgt 90 Grad ?

Winkel zwischen der Seite BC und BS          cos = -6 · -3/ √(-6²)·√((-3²)+(-3²)+6²)  = √6/6  cos^-1(√6/6) = 65,90515745 Grad

2. Berechnen Sie den Winkel zwischen der Ebene ABC und der Ebene BCS.

A(3|-3|7)   B(3|3|7)  C(-3|3|7)  D(-3|-3|7)  E(1|-4|0)

F(1|2|0)  G(-5|2|0)  H(0|-1,5|2,5)  S(0|0|13)

EBENE₁( BCS) : x = (3|3|7)+ r·(-6|0|0)+s·(-3|-3|6)

EBENE₂( ABC) : x = (3|-3|7)+ r·(0|6|0)+s·(-6|6|0)

Kreuzprodukt von (-6|0|0) und (-3|-3|6)   n₁= (0|36|18)

Kreuzprodukt von (0|6|0) und (-6|6|0)       n₂= (0|0|36)

cos = 18 · 36/ √(36²+18²)·√((36²))  = 0,4472135955  cos^-1( 0,4472135955) =63,43494882 Grad

Ist das alles richtig? ich übe gerade für eine Prüfung.

Danke schonmal !

Comments

Mir fällt gerade auf, dass du bei den Achsen manchmal an beiden Enden Pfeile zeichnest. Das solltest du nicht tun, denn die Pfeile geben an in welche Richtung die Werte der Koordinaten zunehmen. Also: Nur dort, wo es nach plus unendlich geht einen Pfeil setzen. Schön wären dagegen noch ein paar Zahlenwerte auf den Achsen. Als etwa 1, 2, 3 ... oder 2, 4, 5, ... ( Wenn der Ursprung O(0|0|0) des Koordinatensystems im Schnittpunkt der Achsen liegt und beschriftet ist, genügen 2 Zahlenwerte pro Achse)

Ich muss den Lösungsweg selbst später mal in Ruhe anschauen.

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Danke, ja ich habe mir die Aufgaben komplett selbst ausgedacht, weil sie so ähnlich auch in der Prüfung vorkommen werden.

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In der Prüfung heißt es dann wahrscheinlich, berechne die Neigung der Wände des Dachbodens zu der Grundfläche abcd, oder im welchen Winkel stehen die Wände und die Balken des Hauses zueinander. Deshalb übe ich schonmal ;)

Answer 1

Wenn du den Winkel FBC bestimmst dann sollten beide Vektoren bei B anfangen oder aufhören.

∠FBC = ACOS([-2, -1, -7]·[-6, 0, 0]/(ABS([-2, -1, -7])·ABS([-6, 0, 0]))) = 74.21°

Der Winkel ist nicht 90 Grad, weil der Vektor BF nicht senkrecht nach unten geht. Dann wäre F bei F(3 | 3 | 1).

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∠SBC = ACOS([-6, 0, 0]·[-3, -3, 6]/(ABS([-6, 0, 0])·ABS([-3, -3, 6]))) = 65.91°

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Wenn du das Kreuzprodukt bildest ist es sinnvoller nachher den Normalenvektor zu kürzen.

[-6, 0, 0] ⨯ [-3, -3, 6] = [0, 36, 18] = 18 * [0,2,1]

Da A, B, C und D alle die gleiche z (x3) - Koordinate haben ist der Normalenvektor der Ebene einfach [0, 0, 1]

Winkel zwischen den Normalenvektoren.

ACOS([0, 2, 1]·[0, 0, 1]/(ABS([0, 2, 1])·ABS([0, 0, 1]))) = 63.43°

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Sieht also bis auf den einen Winkel sehr gut aus.

Comments

vielen vielen Dank !

vektor(BF) =  F(1|2|0)-B(3|3|7) = (-2|-1|-7)

vektor(BC) = C(-3|3|7) -  B(3|3|7) = (-6|0|0)

vektor(BS) =  S(0|0|13) -  B(3|3|7) = (-3|-3|6)

Winkel zwischen BF und BC          cos = -2·-6/ √(-6²)·√((-2²)+(-1²)+(-7²))  = √6/9   cos^-1(√6/9) = 74,21 Grad


Also ich lasse ab jetzt die Vektoren, zwischen denen der Winkel ermittelt wird,  immer von dem gleichen Buchstaben anfangen.