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Hallo leutz,

Ich tue mich bei folgender Aufgabe etwas schwer undzwar fängt es schon damit an das ich nicht alles verstehe was da geschrieben steht und jetzt noch die Aufgabe sein soll Wie man etwas benennt.

Die Bemerkung macht das ganze noch viel komplizierter, deswegen zu erst worum handelt es sich in der Aufgabe und im Text(woran macht man es fest) und die eigentliche Aufgabe

Es sei eine Funktion \( R: \mathcal{C} \backslash\{-2,2\} \rightarrow \mathcal{C} \) definiert durch
$$ R(z):=16 z+32+\frac{36}{(z-2)^{2}}+\frac{87}{z-2}+\frac{9}{z+2} \quad(z \in \mathcal{C} \backslash\{-2,2\}) $$
Bestimmen Sie Polynome \( p, q: \boldsymbol{C} \rightarrow \boldsymbol{C} \) mit Nullstellenmengen \( \mathcal{N}(p):=\{z \in \boldsymbol{C} | p(z)=0\} \)
\( \operatorname{und} \mathcal{N}(q):=\{z \in \mathcal{E} | q(z)=0\} \) so, dass \( \mathcal{N}(p) \cap \mathcal{N}(q)=\emptyset \) und
$$ R(z)=\frac{p(z)}{q(z)} \quad \text { für alle } z \in \mathcal{E} \backslash \mathcal{N}(q) $$
gilt. Wie nennt man die Definitionslücken der rationalen Funktion \( R ? \)
Bem.:
Umgekehrt ist es auch stets möglich wieder eine Rückzerlegung von \( R=\frac{R}{g} \) in sogenante Partialbrüche zu erhalten. D.h. es gilt der 'Satz über die Partialbruchzerlegung" rationaler Funktionen:

Es seien Polynome \( p, q: \boldsymbol{\mathcal { C }} \rightarrow \boldsymbol{\mathcal { C }} \) vorgegeben, wobei \( q \) bereits in faktorisierter Darstellung
$$ q(z)=\alpha \cdot\left(z-c_{1}\right)^{k_{1}} \cdots\left(z-c_{m}\right)^{k_{m}} \quad(z \in \mathcal{C}) $$
mit \( \alpha \in \mathcal{E} \backslash\{0\}, m \in I N, k_{1}, \ldots, k_{m} \in I N \) und den paarweise verschiedenen Nullstellen \( c_{1}, \ldots, c_{m} \in \mathcal{E} \) vorliegen möge! Dann lässt sich stets ein Polynom \( \tilde{p}: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} \) sowie Koeffizienten \( A_{\mu \nu} \in \mathscr{C} \) finden, so daß für alle \( z \in \mathcal{E} \backslash\left\{c_{1}, \ldots, c_{m}\right\} \) die folgende additive Zerlegung in Partialbrüche gilt:
$$ \begin{aligned} R(z):=& \frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z)}{\alpha \cdot\left(z-c_{1}\right)^{k_{1}} \cdots\left(z-c_{m}\right)^{k_{m}}} \\ =& \tilde{p}(z)+\frac{A_{11}}{z-c_{1}}+\frac{A_{12}}{\left(z-c_{1}\right)^{2}}+\ldots+\frac{A_{1 k_{1}}}{\left(z-c_{1}\right)^{k_{1}}} \\ &+\frac{A_{21}}{z-c_{2}}+\frac{A_{22}}{\left(z-c_{2}\right)^{2}}+\ldots+\frac{A_{2 k_{2}}}{\left(z-c_{2}\right)^{k_{2}}} \\ &+\frac{A_{m 1}}{z-c_{m}}+\frac{A_{m 2}}{\left(z-c_{m}\right)^{2}}+\ldots+\frac{A_{m k_{m}}}{\left(z-c_{m}\right)^{k_{m}}} \end{aligned} $$ .

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Um die Aufgabe zu lösen, musst du einfach die gegebene Darstellung von R(z) zu einem

Bruch zusammenfassen. Und Zähler und Nenner dieses Bruches sind dann

die gesuchten p und q.  Die Nullstellen des Nenners sind Polstellen.

gibt ( 16z^4 - 32z^2 + 16)  /  (  (z+2)*(z-2)^2 )

Avatar von 289 k 🚀
Also du meinst die obere Funktion von R(z) oder?
Dann  noch woran erkennst du es, dass hier alles zu einem Bruch zusammengefasst werden muss ?
und warum sind denn nur die Nullstellen vom Nenner die Polstellen und nicht auch der Zähler.
Da gabs doch mal was mit Nennergrad und Zählergrad

Und wie nennt man dann die Defintionslücke einer Rationalen Funktion ?

Die heißen , wenn sie keine Nullstellen des Zählers sind,

Polstellen.

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